vignette|Les cinq solides de Platon
En géométrie euclidienne, un solide de Platon est l’un des cinq polyèdres à la fois réguliers et convexes.
En référence au nombre de faces (4, 6, 8, 12 et 20) qui les composent, ils sont nommés couramment tétraèdre (régulier), hexaèdre (régulier) ou cube, octaèdre (régulier), dodécaèdre (régulier) et icosaèdre (régulier), les adjectifs « régulier » et « convexe » étant souvent implicites ou omis quand le contexte le permetDans le contexte de cette page, le mot régulier est implicite et généralement omis. Le mot irrégulier est parfois utilisé pour souligner le fait qu'un polyèdre n’est pas régulier, bien qu'il soit encore supposé avoir la même topologie que la forme régulière. D'autres formes topologiques très différentes, telles que le dodécaèdre rhombique qui possède douze faces rhombiques, ou un polyèdre étoilé non-convexe, comme le grand dodécaèdre, ne sont jamais données avec des noms raccourcis.. Les cinq polyèdres réguliers convexes (solides de Platon) Tétraèdre Cube Octaèdre Dodécaèdre Icosaèdre 4 faces 6 faces8 faces12 faces20 faces
Depuis les mathématiques grecques, les solides de Platon furent un sujet d’étude des géomètres en raison de leur esthétique et de leurs symétries. Leur nom, donné en l’honneur du philosophe grec Platon, rappelle une de ses théories, associant quatre d’entre eux aux quatre éléments de l’ancienne physique et le cinquième à la quintessence ou Éther.
Histoire Selon une étude, les peuples néolithiques d'Écosse auraient construit des modèles en pierre des « cinq solides » au moins avant Platon (Atiyah et Sutcliffe 2003). Ces modèles sont gardés au Ashmolean Museum à Oxford. Mais cette conclusion est hâtive The Scottish solids hoax.
Dans l'histoire des mathématiques de la Grèce antique, on peut tracer la chronologie suivante. Les pythagoriciens ont eu une connaissance empirique de trois solides : le tétraèdre (la pyramide), l'hexaèdre (le cube), le dodécaèdre (douze faces). Selon Proclus, Pythagore lui-même (vers ) aurait eu connaissance de ces solides. Mais ce peut être son disciple Hippase de Métaponte (qui aurait construit le premier dodécaèdre) ou, plus vraisemblablement, Archytas de Tarente (vers 360 av. J.-C.).
Il n'est pas fait mention de la pyramide avant Démocrite (fragment 155), actif vers 430 av. J.-C. Archytas aurait le premier construit le cube, pour résoudre le problème de la duplication du carré. Le premier, Platon mentionne le dodécaèdre, dans le Phédon (110 b), qui date d'env. Le mathématicien Théétète d'Athènes (mort en 395 ou ) a découvert les deux autres solides : l'octaèdre et l'icosaèdre ; surtout, il les a construits, le premier, tous les cinq Eva Sachs, Die fünf platonischen Körper, Berlin, 1917. A.-J. Festugière, Études de philosophie grecque, 385..
Les solides de Platon jouent un rôle déterminant dans la philosophie de Platon, à partir duquel ils ont été nommés. Platon, dans le dialogue Timée (env. ), associait chacun des quatre éléments (la terre, l'air, l'eau et le feu) à un solide régulier.La terre était associée au cube (Timée, 55 d), l'Air à l'octaèdre, l'Eau à l'icosaèdre et le Feu au tétraèdre. Il existait une justification pour ces associations : la chaleur du Feu semble pointue et comme un poignard (comme un peu le tétraèdre). L'Air est constitué de l'octaèdre ; ses composants minuscules sont si doux qu'on peut à peine les sentir. L'Eau, l'icosaèdre, s'échappe de la main lorsqu'on la saisit comme si elle était constituée de petites boules minuscules. Le solide le plus stable, l'hexaèdre (cube), représente la Terre. Ces petits solides font de la poussière lorsqu'ils sont émiettés et se cassent lorsqu'on s'en saisit, une grande différence avec l'écoulement doux de l'eau. Pour le cinquième solide, le dodécaèdre, Platon remarque obscurément : « le dieu l’a utilisé pour l'Univers quand il en a dessiné l’arrangement final. » Platon mettait en correspondance le dodécaèdre avec le Tout (Phédon, 110 b ; Timée, 55 c), parce que c'est le solide qui ressemble le plus à la sphère. Aristote a nommé ce cinquième élément, aithêr (aether en latin, « éther » en français) et a postulé que l'univers était fait de cet élément, et qu'il était substantiel à tous les autres, qu'il les contenait tous.
Speusippe, le successeur de Platon à l'Académie (en 348 av. J.-C.) a repensé la tradition pythagoricienne sur les cinq solides (Pythagore, Hippase, Archytas).
Euclide a donné une description mathématique complète des solides de Platon dans les Éléments (env. ) ; le dernier livre (livre XIII) est consacré à leurs propriétés. Les propositions 13–17 dans ce livre XIII décrit la construction du tétraèdre, de l'octaèdre, du cube, de l'icosaèdre et du dodécaèdre dans cet ordre. Pour chaque solide, Euclide trouve le rapport du diamètre à la sphère circonscrite à la longueur des arêtes. Dans la proposition 18, il argumente qu'il n'existe pas plus de polyèdres réguliers convexes. En effet, pour être régulier, un polyèdre doit posséder le même nombre de polygones réguliers en chacun de ses sommets et la somme des angles au sommet des polygones réguliers doit être strictement inférieure à 360° (voir démonstrationYvan Monka, Les Solides de Platon.). Une grande partie des informations du livre XIII proviennent probablement du travail de Théétète.
Au , l'astronome allemand Johannes Kepler essaya de trouver une relation entre les cinq planètes connues à l'époque (en excluant la Terre) et les cinq solides de Platon. Dans le Mysterium Cosmographicum, publié en 1596, Kepler présenta un modèle de Système solaire dans lequel les cinq solides étaient fixés les uns dans les autres et séparés par une série de sphères inscrites et circonscrites. Les six sphères correspondaient chacune aux planètes (Mercure, Vénus, la Terre, Mars, Jupiter et Saturne). Les solides étaient ordonnés de l'intérieur vers l'extérieur, le premier étant l'octaèdre (Mercure), suivi de l'icosaèdre (Vénus), du dodécaèdre (Mars), du tétraèdre (Jupiter) et finalement le cube (Saturne). De cette manière, la structure du système solaire et les relations de distances entre les planètes étaient dictées par les solides de Platon. L'idée originale de Kepler dut être abandonnée, mais de cette recherche émergèrent la découverte des solides de Kepler, la constatation que les orbites des planètes ne sont pas des cercles, et les lois du mouvement planétaire de Kepler pour lesquelles il est maintenant célèbre.
Chaque solide de Platon répond à la formule d'Euler, démontrée en 1752 par le mathématicien suisse Leonhard Euler, obtenue avec un nombre F de faces, A d'arêtes et S de sommets : F + S – A = 2
Propriétés combinatoires
Un polyèdre convexe est un solide de Platon si et seulement si Toutes ses faces sont des polygones réguliers convexes isométriques, c'est-à-dire superposables, Aucune de ses faces ne se coupe, excepté sur les arêtes Le même nombre de faces se rencontre à chacun de ses sommets. Chaque solide de Platon peut par conséquent être noté par un symbole {p, q} où p = le nombre de côtés de chaque face (ou le nombre de sommets sur chaque face) et q = le nombre de faces se rencontrant à chaque sommet (ou le nombre d'arêtes se rencontrant à chaque sommet). Le symbole {p, q}, appelé le symbole de Schläfli, donne une description combinatoire du polyèdre. Les symboles de Schläfli des cinq solides de Platon sont donnés dans la table ci-dessous.
Polyèdre SommetsArêtesFacesSymbole de SchläfliConfigurationde sommetTétraèdre régulier464 triangles équilatéraux {3, 3}3.3.3Hexaèdre régulier(cube)8126 carrés {4, 3}4.4.4Octaèdre régulier6128 triangles équilatéraux {3, 4}3.3.3.3Dodécaèdre régulier 203012 pentagones réguliers {5, 3}5.5.5Icosaèdre régulier 123020 triangles équilatéraux {3, 5}3.3.3.3.3
Toutes les autres informations combinatoires à propos de ces solides, telles que le nombre total de sommets (S), des arêtes (A) et des faces (F) peuvent être déterminées à partir de p et q. Puisque toute arête joint deux sommets et possède deux faces adjacentes, nous devons avoir :
L'autre relation entre ces valeurs est donnée par la formule d'Euler :
Ce fait non-trivial peut être démontré d'une grande variété de manières (en topologie algébrique, il découle de ce fait que la caractéristique d'Euler de la sphère est 2). Mises ensemble, ces trois relations déterminent complètement S, A et F :
Note : échanger p et q intervertit F et S laissant A inchangé (pour une interprétation géométrique de ce fait, voir la section sur les polyèdres duaux ci-dessous).
Classification
C'est un résultat classique qu'il existe seulement cinq polyèdres réguliers convexes. Deux arguments communs sont donnés ci-dessous. Les deux montrent seulement qu'il ne peut pas y avoir plus de cinq solides de Platon. Que chacun des cinq existe réellement est une question séparée — à laquelle on peut répondre par une construction explicite.
Démonstration géométrique
L'argument géométrique suivant est très similaire à celui donné par Euclide dans les Éléments : Chaque sommet du solide doit coïncider avec un sommet sur au moins trois faces, sinon ce n'est qu'un point de côté et non un sommet. À chaque sommet du solide, le total des angles entre les côtés adjacents relatifs aux faces adjacentes, doit être strictement inférieur à (sinon, le solide ne peut pas être convexe). Les angles de tous les sommets de toutes les faces d'un solide de Platon sont identiques, donc chaque sommet de chaque face doit contribuer pour strictement moins de /3=. Les polygones réguliers de six côtés ou plus ont seulement des angles de ou plus, donc la face commune doit être le triangle, le carré ou le pentagone. Et pour : les faces triangulaires : chaque sommet d'un triangle régulier a un angle de , donc une forme doit avoir 3, 4 ou 5 triangles se rencontrant à un sommet ; celles-ci sont le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre respectivement. les faces carrées : chaque sommet d'un carré a un angle de , donc il existe seulement un arrangement possible avec trois faces à un sommet, le cube. les faces pentagonales : chaque sommet a un angle de ; de nouveau, seulement un arrangement de trois faces à un sommet est possible, le dodécaèdre.
Démonstration topologique
Une démonstration purement topologique peut être donnée en utilisant seulement les informations combinatoires sur les solides. La clé est l'observation d'Euler que , où S correspond au nombre de sommets, A au nombre d'arêtes et F au nombre de faces, et le fait que . En combinant ces équations, on obtient l'équation
En divisant par il vient
Puisque est strictement positif, nous devons avoir
En utilisant le fait que p et q doivent, tous deux, être au moins égaux à 3, on peut facilement voir qu'il existe seulement cinq possibilités pour {p, q} :
Propriétés géométriques Angles
Il existe un nombre d'angles associés avec chaque solide de Platon. L'angle dièdre est l'angle interne entre deux faces planes quelconques. L'angle dièdre, θ, du solide {p, q} est donné par la formule
Ceci est quelquefois exprimé de manière plus pratique en termes de tangente par
La quantité h est 4, 6, 6, 10 et 10 pour le tétraèdre, le cube, l'octaèdre, le dodécaèdre et l'icosaèdre respectivement, autrement dit .
Le au sommet d'un polyèdre est la différence entre la somme des angles d'une face et . Le défaut, , à un sommet quelconque des sommets de Platons {p, q} est
Par le théorème de Descartes, ceci est égal à 4π divisé par le nombre de sommets (i.e. le défaut total de tous les sommets est ).
L'analogue tridimensionnel d'un angle plan est un angle solide. L'angle solide, , au sommet d'un solide de Platon est donné en termes d'angle dièdre par
Ceci provient de la formule de l'excès sphérique pour un polygone sphérique et le fait que la figure de sommet du polyèdre {p, q} est un q-gone régulier.