En théorie des probabilités, la loi géométrique de paramètre peut désigner, selon la convention choisie, l'une des deux lois de probabilité suivantes : la loi de probabilité d'une variable aléatoire (v.a.) comptant le nombre d'épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès nécessaires pour obtenir le premier succès. est la variable aléatoire donnant le rang du premier succès. Le support de la loi est alors }. La loi d'une variable aléatoire (v.a.) comptant le nombre d'échecs avant le premier succès dans une répétition d'épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès . Le support de la loi est alors }. On remarque que les variables aléatoires sont liées par la relation .

Ces deux lois sont différentes. C'est pourquoi il faut préciser la convention choisie en indiquant le support.

Par la suite, sauf mention contraire, on considèrera que représente le rang du premier succès (le nombre d'épreuves effectuées dont celle réussie) et on notera la probabilité d'un échec dans l'épreuve de Bernoulli.

Exemples

Supposons un dé équilibré à 6 faces. peut permettre de déterminer le nombre moyen de lancers nécessaire pour obtenir un 6. Ce nombre est l'espérance de la loi géométrique de paramètre . Supposons une machine à vêtements démarrant à l'instant puis opérant aux instants En chaque instant la machine a une probabilité de tomber en panne. peut permettre de modéliser le temps de fonctionnement sans panne .

Définition

Support sur les entiers strictement positifs Soit . Alors :

La probabilité correspond à la probabilité d'obtenir dans une succession de épreuves de Bernoulli, échecs suivis d'un succès. Les épreuves étant indépendantes, cette probabilité est de . Dans la suite, c'est cette définition qui sera retenue.

Support sur les entiers positifs Pour l'autre définition, le nombre d'échecs avant succès :

n'est qu'un décalage de . Son espérance n'est pas mais . En revanche, la variance est identique pour les deux définitions.

Modèle de durée de vie et loi exponentielle

Si on appelle la probabilité de désintégration d'une particule radioactive en chaque instant, la loi géométrique est le premier modèle discret de la mort d'une particule radioactive. La durée de vie de la particule radioactive suit la loi de probabilité suivante :

Si est petit, est proche de . Donc

On retrouve la distribution de la loi exponentielle.

Espérance, variance, écart type

L'espérance d'une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre est , et sa variance est où est la probabilité d'échec :

L'écart type est donc .

Par exemple, pour , et l'écart moyen .

Liens avec d'autres lois Lien avec la loi géométrique tronquée Dans les programmes 2011 de Première Scientifique en FranceDocument ressource éduscol - Statistique et probabilité - Juin 2011, pp. 13-24, on appelle loi géométrique tronquée de paramètres et , la loi de la variable aléatoire obtenue en limitant à le nombre d'épreuves de Bernoulli de paramètre et en notant le rang du premier succès. Par convention, s'il n'advient aucun succès au cours des essais, on pose (on trouve parfois pour le nombre d'échecs consécutifs obtenus avant l'obtention d'un premier succès au cours des épreuvesCours de probabilité 2011/2012 de l'U.J.F. de Grenoble, p. 7). La probabilité que est alors, pour :

et pour

Cette loi de probabilité a pour espérance:

où .

Le terme « tronquée », ici, n'a pas le même sens que celui que l'on trouve dans la définition d'une loi tronquée.

Lien avec la loi exponentielle La loi géométrique est une version discrétisée de la loi exponentielle. En conséquence, la loi exponentielle est une limite de lois géométriques renormalisées.

thumb|300px|Diagramme en bâtons de la loi de V et densité de la loi exponentielle de paramètre 1/10. Notons que, pour un nombre réel , désigne la partie entière supérieure de , définie par

Réciproquement,

Lien avec la loi binomiale négative Si est une variable aléatoire distribuée selon la loi binomiale négative de paramètres et , alors a même loi que la somme de variables aléatoires indépendantes distribuées selon une loi géométrique de paramètre .

Voir aussi

Variables aléatoires élémentaires Radioactivité Méthode de rejet Processus de Bernoulli Loi exponentielle Loi binomiale négative Problème du collectionneur de vignettes (un exemple faisant apparaître une loi géométrique)

Notes et références

Geometrique Catégorie:Blaise Pascal