Un nombre carré centré est un nombre figuré centré qui peut être représenté par points dans un carré avec un point placé au centre et les autres points disposés en couches carrées concentriques de 4 points, 8 points, 12 points, etc. Ainsi, le -ième carré centré comporte points sur chaque rayon et sur chaque côté :

|- align="center" | C4,1 = 1

C4,2 = 1 + 4 = 5

C4,3 = 5 + 8 = 13

C4,4 = 13 + 12 = 25

Pour tout entier ≥ 2, le -ième nombre carré centré est aussi la somme du -ième et du ( – 1)-ième nombres carrés.

Relation de récurrence et premières formules explicites Pour tout entier le -ième carré centré a un point central et couches carrées.Pour tout entier la dernière couche du -ième carré centré comporte points ; c'est le gnomon faisant passer du -ième carré centré au -ième :

Pour tout entier le -ième nombre carré centré égale donc plus fois la somme des entiers de à : (S), (D)

Exemple

Le quatrième nombre carré centré est :

Liste de nombres carrés centrés Les dix plus petits nombres carrés centrés sont : 1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181 (voir la ).

Relations avec les nombres triangulaires D'après son expression (S) ou (D) plus haut, le -ième nombre carré centré est égal à 1 plus 4 fois le ( – 1)-ième nombre triangulaire –1 = (en comptant 0 comme le 0-ième nombre triangulaire) : (T) Cette égalité peut se représenter par : center

De l'expression (D) plus haut ou (T) ci-dessus, on tire :

pour tout entier ≥ 2, le -ième nombre carré centré est la somme pondérée des trois nombres triangulaires consécutifs –2, –1, , affectés des coefficients 1, 2, 1.

Le cas 4,2 = 0 + 21 + 2 = 0 + 2×1 + 3 = 5 est trivial ; représentations suivantes : center

Relations avec les nombres carrés De l'expression (D) plus haut, on tire :

pour tout entier ≥ 1, le -ième nombre carré centré est la somme du -ième et du ( – 1)-ième carrés parfaits (en comptant 0 comme le 0-ième carré parfait). Exemple d'illustration :centré|vignette|

Si est impair, on peut donc écrire :

Exemple d'illustration :centré|vignette|

De même, si est pair :

Exemple :

De l'expression (D) plus haut, on tire aussi : (trinôme du second degré sous forme canonique). Donc un entier est carré centré si et seulement si 2 – 1 est un carré parfait impair.

{| class="wikitable center" cellpadding="0" style="margin: 0px;" |- |16px | |16px16px16px16px16px16px16px16px16px | |16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px | |16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px16px

Propriétés de congruence Tous les nombres carrés centrés sont impairs ; et en base 10, le chiffre des unités du -ième nombre carré centré suit le motif

Tous les nombres carrés centrés et leurs diviseurs sont congrus à 1 modulo 4. (En effet : pour tout facteur premier de 2 – 2 + 1, est impair, et modulo , puisque ( – 1) est congru à –, –1 est un résidu quadratique ; donc modulo 4, est congru à 1.) Ils se terminent donc par le chiffre 1 ou 5 en bases 6, 8, et 12.

Égalités entre nombres carrés centrés et d'autres nombres figurés

Avec les nombres triangulaires 1 est le seul nombre à la fois carré centré et triangulaire. En effet, pour tout entier ≥ 2,

Avec les nombres carrés

La recherche des solutions de l'équation diophantienne revient à la recherche des triplets pythagoriciens ceux dont les deux plus petits termes sont consécutifs.

Les cinq plus petits nombres à la fois carrés centrés et carrés parfaits sont alors : C = 0 + 1 = 1 = 1 ; C = 3 + 4 = 25 = 5 ; C = 20 + 21 = 841 = 29 ; C = 119 + 120 = 28 561 = 169 ; C = 696 + 697 = 970 225 = 985.

Pour les suivants, voir « Consider all Pythagorean triples (X, X+1, Z) ordered by increasing Z; sequence gives X values. », section « Comments », page . « Consider all Pythagorean triples (X,X+1,Z) ordered by increasing Z; sequence gives X+1 values. », section « Name », page . « Numbers simultaneously square and centered square. », section « Comments », page . « Positive integers z such that z^2 is a centered square number. », section « Comments », page . : C = + = = . (Pour la suite des nombres carrés, voir .)

On obtient la solution générale en mettant l'équation (n − 1) + n = m sous la forme : (2n – 1) – 2m = –1, et en utilisant les solutions de l'équation de Pell-Fermat :

Nombres carrés centrés premiers Les dix plus petits nombres à la fois carrés centrés et premiers sont : C = 5 = p ; C = 13 = p ; C = 41 = p ; C = 61 = p ; C = 113 = p ; C = 181 = p ; C = 313 = p ; C = 421 = p ; C = 613 = p ; C = 761 = p.

Pour les suivants, voir « Numbers k such that k^2 + (k+1)^2 is prime. », section « Name », page . « Primes of the form j^2 + (j+1)^2. », section « Name », et « Centered square primes (i.e., prime terms of centered squares A001844). », section « Comments », page . « Numbers k such that the k-th prime is of the form m^2 + (m+1)^2. », section « Name », page . : C = = p. (Pour la suite des nombres premiers, voir .)

Références

Voir aussi

Nombre cubique centré

Carré Catégorie:Carré