Les nombres d'Euler forment une suite d'entiers naturels. Certains auteurs utilisent le développement de 1/cosh(x), pour lequel les coefficients ont des signes alternés. définis par le développement en série de Taylor suivant :
On les appelle aussi parfois les nombres sécants, du nom de la fonction sécante, . Ils forment la .
Premiers nombres d'Euler Les premières valeurs sont :
1 1 5 61 1 385 50 521 2 702 765 199 360 981
Les nombres d'Euler apparaissent dans le développement en série de Taylor de la fonction sécante :
et, dans la version alternée de la série, dans celui de la fonction sécante hyperbolique :
.
Ils apparaissent aussi en combinatoire comme nombres de configurations zig-zag de taille paire : . Une configuration zig-zag de taille est une liste de nombres réels tels que
Deux configurations sont considérées comme identiques si les positions relatives de tous les nombres sont les mêmes.
Les polynômes d'Euler sont construits avec les nombres d'Euler à partir de cette fonction génératrice.
Formules explicites
Sommations Une formule explicite pour les nombres d'Euler est :
où est le nombre complexe tel que .
Sommes sur les partitions Le nombre s'exprime comme somme sur les partitions paires de . :
et aussi comme somme sur les partitions impaires de :
où, dans les deux cas, et
est un coefficient multinomial. La notation du delta de Kronecker dans ces formules restreint la somme aux tels que et , respectivement.
Par exemple,
Avec un déterminant est aussi donné par le déterminant :
Propriétés Comportement asymptotique On a:
Applications Les nombres d'Euler apparaissent dans les expressions exactes de séries alternées : , voir à fonction bêta de Dirichlet. ou d'intégrales, avec une erreur : les auteurs écrivent : .
Voir aussi
Transformation du boustrophédon, permettant de calculer les nombres d’Euler. Permutation alternée
Notes et références
Liens externes
Euler Catégorie:Leonhard Euler Catégorie:Combinatoire