En matemáticas, o concepto de medida é a xeneralización e formalización das medidas xeométricas e outras nocións como a probabilidade dos sucesos aleatorios. A medida é un concepto fundamental en teoría da medida e teoría da probabilidade.
Intuitivamente, a medida dun conxunto ou subconxunto é similar á noción de tamaño. Neste sentido, a medición é unha xeneralización dos conceptos de lonxitude,área e volume en espazos de dimensión 1, 2 ou 3 respectivamente.
O estudo de espazos con medidas é o tema da teoría da medida. Definición
Sexa un conxunto e unha -álxebra de conxuntos de . Dada unha aplicación (ver: recta real estendida), diremos que é unha medida en se satisfai as seguintes propiedades:
Dado un conxunto numerable con elementos disxuntos dous a dous, isto é, con para , entón a medida da unión coincide coa suma das medidas, é dicir,
Chamamos espazo de medida á terna .
Propiedades das medidas Dado un espazo de medida temos que
Dados con , temos que a medida respeta a orde de contidos, isto é, . Se, ademais, , temos que . Dados , temos que . Dada unha colección finita de conxuntos, temos que (Subaditividade finita). Dada unha colección numerable de conxuntos non necesariamente disxuntos, temos que (Subaditividade numerable).
Exemplos de medidas
Se e consideramos a -álxebra , podemos definir a medida dun conxunto como o cardinal deste conxunto , isto é, o número de elementos de se este é finito ou infinito en caso contrario. Chamamos medida exterior dun subconxunto como A esta medida chamámola medida de Lebesgue en cando a definimos sobre o espazo medible , onde é a -álxebra de Lebesgue.
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Función medible Espazo medíbel Espazo de medida Teoría da probabilidade Integral de Lebesgue Ligazóns externas Mathworld: Medida.
Categoría:Teoría da medida