miniatura| Homotecia: Exemplo con Para obtense a identidade (non se move punto ningún),Para unha ampliaciónPara unha redución miniatura| Exemplo con Para obtense unha simetría central nun punto miniatura| Homotecia dunha pirámide En matemáticas, unha homotecia é unha transformación dun espazo afín determinada por un punto S chamado centro e un número distinto de cero chamado o seu ratio, que envía o punto ata un punto mediante a regra
para un número fixo .
Usando vectores de posición:
.
No caso de (Orixe):
,
que é unha escala uniforme, onde temos algunhas opcións especiais para :
para obtemos o mapeo de identidade, para obtemos o reflexo no centro,
Para obtense o mapa inverso definida por .
Na xeometría euclidiana as homotecias son as semellanzas que fixan un punto e conservan (se ) ou inverten (se ) a dirección de todos os vectores. Xunto coas translacións, todas as homotecias dun espazo afín (ou euclidiano) forman un grupo, o grupo de homotecías-translacións. Estas son precisamente as transformacións afines coa propiedade de que a imaxe de cada recta g é unha liña paralela a g.
En xeometría proxectiva, unha transformación homotética é unha transformación de semellanza (é dicir, fixa unha involución elíptica dada) que deixa a recta no infinito invariante.
Na xeometría euclidiana, unha homotecia de razón multiplica as distancias entre puntos por , áreas por e volumes por . Aquí é o factor de aumento ou dilatación ou o factor de escala ou a razón de semellanza. Tal transformación pódese chamar ampliación se o factor de escala supera 1. O punto fixo S mencionado anteriormente chámase centro homotético ou centro de semellanza.
As homotecias utilízanse para escalar o contido das pantallas de ordenador; por exemplo, teléfonos intelixentes, notebooks e portátiles.
Propiedades As seguintes propiedades cúmprense en calquera dimensión.
Mapeo de liñas, segmentos e ángulos
Unha liña mapea nunha liña paralela. Polo tanto: os ángulos permanecen inalterados. Consérvase a razón de dous segmentos de liña .
Ambas as propiedades mostran:
Unha homotecia é unha semellanza .
Consecuencias: un triángulo mapea sobre outro semellante. A imaxe homotética dun círculo é un círculo. A imaxe dunha elipse é semellante, é dicir, a razón dos dous eixes non muda. miniatura| Con Teorema de Tales
Composición miniatura| A composición de dúas homotecias con centros e ratios mapeando é unha homotecia de novo co seu centro na liña con proporción .
A composición de dúas homotecias co mesmo centro volve ser unha homotecia co centro . As homotecias con centro formar un grupo. A composición de dúas homotecias con centros diferentes e as súas razóns resulta en
en caso de unha homotecia co centro na liña e proporción ou en caso de unha translación na dirección . Sobre todo, se (reflexións centrais).
miniatura| Composición con translación
A composición dunha homotecia e dunha translación é unha homotecia.
Demostración:
A composición da homotecia
e a translación é
que é unha homotecia con centro e razón .
En coordenadas homoxéneas A homotecia con centro pódese escribir como a composición dunha homotecia con centro e unha translación:
.
De aí que pódese representar en coordenadas homoxéneas pola matriz:
Unha transformación linear de homotecia pura tamén é conforme porque está composta por translación e escala uniforme.
Notas
Véxase tamén
Bibliografía H.S.M. Coxeter, "Introduction to geometry" , Wiley (1961), p. 94
Outros artigos Escala (xeometría) noción similar en espazos vectoriais Translación (xeometría) Rotación (xeometría) Ligazóns externas Homothety, interactivo de Cut-the-Knot.
Categoría:Xeometría