En matemáticas, os octonións son unha extensión non asociativa dos cuaternións. Forman unha álxebra de oito dimensións sobre o corpo ℝ dos números reais. A álxebra de octonións é xeralmente denotada por 𝕆.
Ao perder a importante propiedade da asociatividade, os octonións recibiron menos atención que os cuaternións. Malia isto, conservan a súa importancia en álxebra e xeometría, especialmente entre os grupos de Lie.
Definición
Estrutura do espazo vectorial O espazo 𝕆 de octonións é un espazo vectorial real de dimensión 8 relacionado cunha base denotada como (anticipando lixeiramente a definición de multiplicación).
Noutras palabras : cada octonion escríbese de forma única como unha combinación linear con coeficientes reais destes oito elementos:
e as dúas operacións espaciais vectoriais (suma de dous octonións e multiplicación pola esquerda dun octonión por un número real) fanse coordenada por coordenada.
Multiplicación A multiplicación de octonións defínese entón como a única aplicación bilinear, e verifica
e cuxos valores nos vectores da base veñen dados pola táboa de multiplicación que aparece a continuación: 1 1 1 –1 –1 –1 –1 –1 –1 –1 Inmediatamente notamos que:
(casas brancas) 1 é neutro (primeira fila e columna da táboa) e os outros 7 elementos da base teñen o cadrado –1 (diagonal); (casas verdes) dous elementos distintos a e b, entre os 7 elementos da base distintos de 1, anticomutativo ( ab = –ba ) (agás nas filas e columnas 1 e na diagonal onde o produto é conmutativo, a táboa é antisimétrica en signo con respecto á diagonal). O cuarto superior esquerdo da táboa é idéntico á táboa de multiplicación de cuaternións. En particular: .
A escolla inicial de como base é, madía leva, arbitraria: como veremos máis adiante, hai moitas outras opcións para e tal que, configurando e escollendo adecuadamente, obtemos a mesma táboa. A maiores, dada esa opción, outra base é por exemplo : a táboa modifícase logo por cambios de signos.
Plano mnemotécnico de Fano dereita|miniatura| Plano mnemotécnico de Fano Unha forma mnemotécnica de lembrar os produtos dos octonións unitarios vén dada polo diagrama superior.
Este diagrama de sete puntos e sete "círculos" (na figura plana, os segmentos que unen 3 puntos considéranse círculos estendéndoos ata o infinito por cada lado onde se unen) chámase plano de Fano (en realidade é o plano proxectivo construído sobre o corpo de dous elementos Z/2Z). Os círculos están orientados neste diagrama. Os sete puntos corresponden aos sete elementos non reais da base de 𝕆. Cada par de puntos atópase nun único círculo, e cada círculo pasa exactamente por tres puntos.
Sexa unha terna ordenada de puntos situados nun dos círculos dados coa orde dada pola dirección da frecha. A multiplicación vén dada por:
,
con permutacións circulares conservando a orde relativa dada pola dirección do círculo:
, ,
As multiplicacións operan coa oitava dimensión (real) do seguinte xeito :
é o elemento neutro para a multiplicación, para cada punto do diagrama define completamente a estrutura alxébrica de octonións.
Cada un dos sete círculos xera unha subálxebra de 𝕆 isomorfa aos cuaternións ℍ.
Conxugado O conxugado dun octonión
está dado por
A conxugación é unha involución de 𝕆 e satisfai (nótese o cambio na orde de sucesión).
Partes reais e imaxinarias A parte real do octonión defínese do seguinte xeito
e a súa parte imaxinaria
Norma A norma dun octonión x defínese como a raíz cadrada dun número real positivo :
.
Esta norma corresponde á norma euclidiana en .
.
Inversa A existencia dunha norma en 𝕆 implica a existencia dun inverso para todo elemento distinto de cero en 𝕆. O inverso de calquera x distinto de cero vén dado por:
Propiedades Así como os cuaternións (definidos proporcionando unha multiplicación do espazo vectorial de base ) forman unha ℝ.álxebra xerada por e , os octonións (definidos proporcionando unha multiplicación do espazo vectorial de base ) forma unha ℝ-álxebra xerada por , e .
A multiplicación de octonións non é
nin conmutativa: , nin asociativa: .
Satisfai unha propiedade máis débil que a asociatividade: a alternatividade, é dicir que dous elementos calquera e satisfán:A multiplicación de octonións é a maiores asociativa de potencias, é dicir, que as potencias están definidas de forma unívoca.
Os octonións comparten unha propiedade importante con ℝ, ℂ e ℍ: a norma sobre 𝕆 satisfaiIsto implica que os octonións forman unha álxebra de división normada. As álxebras de dimensións superiores definidas pola construción de Cayley-Dickson (por exemplo os sedenións) non cumpren esta propiedade: todos teñen divisores de cero e as súas multiplicacións xa non satisfán a conservación das normas.
Segundo un teorema de Hurwitz, as únicas álxebras normadas ℝ con división son ℝ, ℂ, ℍ e 𝕆. Outro teorema, debido a Zorn, estabelece que estas catro álxebras tamén forman as únicas ℝ-álxebras de división alternativas de dimensión finita.
Dado que a multiplicación de octonións non é asociativa, os elementos distintos de cero de 𝕆 non forman un grupo senón só un cuasigrupo.
Automorfismos Un automorfismo da álxebra dos octonións é un automorfismo do espazo vectorial de 𝕆 que satisfai
O grupo de automorfismos de 𝕆 é o grupo G. É un grupo de Lie real simplemente conexo e compacto, de dimensión 14. Este grupo é o máis pequeno dos cinco grupos de Lie excepcionais. Notas
Véxase tamén
Bibliografía
.
Outros artigos Cuaternión. Sedenión. Número complexo. Ligazóns externas
Images fractales octonioniques réalisées avec Gecif a partir dos octonións Octavions, Dicionario de números, Gérard Villemin
Categoría:Números Categoría:Álxebra abstracta Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas