En matemáticas, o grupo de Heisenberg , que recibe o nome de Werner Heisenberg, é o grupo de matrices triangulares superiores 3×3 da forma
baixo a operación de multiplicación de matrices. Os elementos a, b e c poden ser tomados de calquera anel conmutativo con identidade, a miúdo o anel dos números reais (resultando no "grupo de Heisenberg continuo") ou o anel dos números enteiros (resultando no "grupo de Heisenberg discreto").
O grupo de Heisenberg continuo xorde na descrición de sistemas cuánticos unidimensionais, especialmente no contexto do teorema de Stone-von Neumann. Máis xeralmente, pódense considerar grupos de Heisenberg asociados a sistemas n-dimensionais, e de xeito máis xeral, a calquera espazo vectorial simpléctico.
Caso tridimensional No caso tridimensional, o produto de dúas matrices de Heisenberg vén dado por
Como se pode ver no termo , o grupo é non abeliano.
O elemento neutro do grupo de Heisenberg é a matriz identidade, e as inversas veñen dadas por
O grupo é un subgrupo do grupo afín 2-dimensional Aff(2): actuando sobre corresponde á transformación afín
Hai varios exemplos destacados do caso tridimensional.
Grupo de Heisenberg continuo Se , son números reais (no anel R), entón temos o grupo de Heisenberg continuo H3(R).
É un grupo de Lie real e nilpotente de dimensión 3.
Ademais da representación como matrices reais 3×3, o grupo de Heisenberg continuo tamén ten varias representacións diferentes en termos de espazos de funcións. Polo teorema de Stone-von Neumann hai, salvo isomorfismo, unha única representación unitaria irreducible de H na que o seu centro actúa por un carácter non trivial dado. Esta representación ten varias realizacións importantes, ou modelos. No modelo de Schrödinger, o grupo de Heisenberg actúa sobre o espazo de funcións integrais cadradas. Na representación theta, actúa sobre o espazo de funcións holomorfas no semiplano superior; recibe este nome pola súa conexión coas funcións theta.
Grupo de Heisenberg discreto miniatura|350px|dereita|Unha porción do grafo de Cayley do grupo de Heisenberg discreto, con xeradores x, y, z como no texto (a cor só é unha axuda visual)
Se son enteiros (no anel Z), entón temos o grupo de Heisenberg discreto H3(Z). É un grupo non abeliano nilpotente. Ten dous xeradores:
e relacións
onde
é o xerador do centro de H3. (Nótese que os inversos de x, y, e z substitúen o 1 sobre a diagonal por −1).
Polo teorema de Bass, ten unha taxa de crecemento polinómica de orde 4.
Pódese xerar calquera elemento mediante
Grupo de Heisenberg módulo un primo impar p Se se toman a, b, c en Z/p Z para un primo impar p, entón temos o grupo de Heisenberg módulo p. É un grupo de orde p3 con xeradores x, y e relacións
Os análogos dos grupos de Heisenberg sobre corpos finitos de orde prima impar p chámanse grupos extra especiais, ou máis propiamente, grupos extra especiais de expoñente p. Máis xeralmente, se o subgrupo derivado dun grupo G está contido no centro Z de G, entón a aplicación G/Z × G/Z → Z é un operador bilinear antisimétrico sobre grupos abelianos.
No entanto, requirir que G/Z sexa un espazo vectorial finito require que o subgrupo de Frattini de G estea contido no centro, e requirir que Z sexa un espazo vectorial unidimensional sobre Z/p Z require que Z teña orde p, así que se G non é abeliano, entón G é extra especial. Se G é extra especial pero non ten expoñente p, entón a construción xeral aplicada ao espazo vectorial simpléctico G/Z non produce un grupo isomorfo a G.
Grupo de Heisenberg módulo 2 O grupo de Heisenberg módulo 2 é de orde 8 e é isomorfo ao grupo diédrico D4 (as simetrías dun cadrado). Observe que se
entón
e
Os elementos x e y corresponden a reflexións (con 45° entre elas), mentres que xy e yx corresponden a rotacións de 90°. As outras reflexións son xyx e yxy, e a rotación de 180° é xyxy (= yxyx).
Álxebra de Heisenberg A álxebra de Lie do grupo de Heisenberg (sobre os números reais) coñécese como a álxebra de Heisenberg. Pódese representar usando o espazo de matrices 3×3 da forma. Proposición 3.26.
con .
Os seguintes tres elementos forman unha base para :
Estes elementos base cumpren as relacións de conmutación
O nome "grupo de Heisenberg" está motivado polas relacións anteriores, que teñen a mesma forma que as relacións de conmutación canónicas na mecánica cuántica:
onde é o operador de posición, é o operador de momento, e é a constante de Planck.
O grupo de Heisenberg ten a propiedade especial de que o mapa exponencial é un mapa un a un e sobre entre a álxebra de Lie e o grupo :. Capítulo 2, Exercicio 9.
En teoría conforme de campos En teoría conforme de campos, o termo álxebra de Heisenberg úsase para referirse a unha xeneralización infinita da álxebra anterior. Está estendida por elementos con relacións de conmutación
Baixo un reescalado, isto é simplemente un número contablemente infinito de copias da álxebra anterior.
Dimensións superiores Pódense definir grupos de Heisenberg máis xerais para dimensións superiores no espazo euclidiano, e de xeito máis xeral sobre espazos vectoriais simplécticos. O caso xeral máis sinxelo é o grupo de Heisenberg real de dimensión , para calquera enteiro . Como grupo de matrices, (ou para indicar que este é o grupo de Heisenberg sobre o corpo dos números reais) defínese como o grupo de matrices con entradas en e da forma
onde a é un vector fila de lonxitude n, b é un vector columna de lonxitude n, In é a matriz identidade de tamaño n.
Estrutura do grupo Isto é de feito un grupo, como se mostra pola multiplicación:
e
Álxebra de Lie O grupo de Heisenberg é un grupo de Lie simplemente conexo cuxa álxebra de Lie consiste en matrices
onde a é un vector fila de lonxitude n, b é un vector columna de lonxitude n, 0n é a matriz cero de tamaño n.
Se temos que e1, ..., en son a base canónica de Rn e estabelecendo
a álxebra de Lie asociada pódese caracterizar polas relacións de conmutación canónicas
onde p1, ..., pn, q1, ..., qn, z son os xeradores da álxebra.
En particular, z é un elemento central da álxebra de Lie de Heisenberg. Nótese que a álxebra de Lie do grupo de Heisenberg é nilpotente.
Mapa exponencial Sexa
que cumpre . O mapa exponencial avalíase como
O mapa exponencial de calquera álxebra de Lie nilpotente é un difeomorfismo entre a álxebra de Lie e o único grupo de Lie asociado conexo e simplemente conexo.
Estas conclusións (agás as afirmacións que se refiren á dimensión e ao grupo de Lie) aplícase tamén ao substituírmos R por calquera anel conmutativo A. O grupo correspondente denótase como Hn(A).
Baixo a suposición adicional de que o primo 2 é invertíbel no anel A, o mapa exponencial tamén está definido, xa que se reduce a unha suma finita e ten a forma anterior (por exemplo, A podería ser un anel Z/p Z cun primo impar p ou calquera corpo de característica 0).
Teoría de representacións
A teoría da representación unitaria do grupo de Heisenberg é relativamente sinxela, posteriormente xeneralizada pola teoría de Mackey, e foi a motivación para a súa introdución na física cuántica, como se discute a continuación.
Para cada número real non nulo , podemos definir unha representación unitaria irredutíbel de que actúa sobre o espazo de Hilbert mediante a fórmula. Proposición 14.7.
Esta representación coñécese como a representación de Schrödinger.
A motivación para esta representación é a acción dos operadores de posición e momento coa función exponencial na mecánica cuántica. O parámetro describe traslacións no espazo de posición, o parámetro describe translacións no espazo de momento, e o parámetro proporciona un factor de fase global. O factor de fase é necesario para obter un grupo de operadores, xa que as translacións no espazo de posición e as translacións no espazo de momento non conmutan.
O resultado clave é o teorema de Stone-von Neumann, que afirma que toda representación unitaria irredutíbel (fortemente continua) do grupo de Heisenberg na que o centro actúa non trivialmente é equivalente a para algún .. Teorema 14.8. Alternativamente, que todas son equivalentes á álxebra de Weyl (ou álxebra CCR) sobre un espazo simpléctico de dimensión 2n.
Dado que o grupo de Heisenberg é unha extensión central unidimensional de , as súas representacións unitarias irredutíbeis pódense ver como representacións unitarias proxectivas irredutíbeis de . Conceptualmente, a representación dada anteriormente constitúe o equivalente mecánico-cuántico do grupo de simetrías de translación no espazo de fase clásico, . O feito de que a versión cuántica sexa só unha representación proxectiva de suxírese xa ao nivel clásico. Os xeradores hamiltonianos das translacións no espazo de fase son as funcións de posición e momento. O espazo abranguido por estas funcións non forma unha álxebra de Lie baixo o corchete de Poisson, xa que Máis ben, o espazo abranguido polas funcións de posición e momento e as constantes forma unha álxebra de Lie baixo o corchete de Poisson. Esta álxebra de Lie é unha extensión central unidimensional da álxebra de Lie conmutativa , isomorfa á álxebra de Lie do grupo de Heisenberg.
Sobre espazos vectoriais simplécticos A abstracción xeral dun grupo de Heisenberg constrúese a partir de calquera espazo vectorial simpléctico.Hans Tilgner, "A class of solvable Lie groups and their relation to the canonical formalism ", Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique, 13 no. 2 (1970), pp. 103-127. Por exemplo, sexa (V, ω) un espazo vectorial simpléctico real de dimensión finita (así que ω é unha forma bilinear antisimétrica non dexenerada sobre V). O grupo de Heisenberg H(V) sobre (V, ω) (ou simplemente V para abreviar) é o conxunto V×R dotado da lei de grupo
O grupo de Heisenberg é unha extensión central do grupo aditivo V. Así, hai unha secuencia exacta
Calquera espazo vectorial simpléctico admite unha base de Darboux {ej, fk}1 ≤ j,k ≤ n que cumpre ω(ej, fk) = δjk e onde 2n é a dimensión de V (a dimensión de V é necesariamente par). En termos desta base, cada vector descomponse como
Os qa e pa son coordenada canónicas conxugadas.
Se {ej, fk}1 ≤ j,k ≤ n é unha base de Darboux para V, entón sexa {E} unha base para R, e {ej, fk, E}1 ≤ j,k ≤ n é a base correspondente para V×R. Un vector en H(V) vén dado entón por
e a lei de grupo convértese en
Dado que a variedade subxacente do grupo de Heisenberg é un espazo linear, os vectores na álxebra de Lie pódense identificar canonicamente cos vectores no grupo. A álxebra de Lie do grupo de Heisenberg vén dada pola relación de conmutación
ou escrita en termos da base de Darboux
e todos os demais conmutadores son nulos.
Tamén é posíbel definir a lei de grupo dun xeito diferente pero que produce un grupo isomorfo ao que acabamos de definir. Para evitar confusións, usaremos u no canto de t, así que un vector vén dado por
e a lei de grupo é
Un elemento do grupo
pódese expresar entón como unha matriz , o que proporciona unha representación matricial fiel de H(V). O u nesta formulación está relacionado co t na nosa formulación anterior mediante , de xeito que o valor de t para o produto vén dado por , como antes.
O isomorfismo co grupo que usa matrices triangulares superiores baséase na descomposición de V nunha base de Darboux, o que equivale a unha elección de isomorfismo V ≅ U ⊕ U*. Aínda que a nova lei de grupo produce un grupo isomorfo ao dado anteriormente, o grupo con esta lei ás veces chámase grupo de Heisenberg polarizado como recordatorio de que esta lei de grupo depende dunha elección de base (unha escolla dun subespazo de Lagrange de V é unha polarización).
Conexión coa álxebra de Weyl