Na álxebra linear, unha matriz de Toeplitz ou matriz constante diagonal, que recibe o nome por Otto Toeplitz, é unha matriz na que cada diagonal descendente de esquerda a dereita é constante. Por exemplo, a seguinte matriz é unha matriz de Toeplitz:
Calquera matriz da forma
é unha matriz de Toeplitz.
Unha matriz de Toeplitz non é necesariamente cadrada.
Resolver un sistema Toeplitz Unha ecuación matricial da forma
chámase sistema de Toeplitz se é unha matriz de Toeplitz. Se é unha matriz de Toeplitz, entón o sistema ten como máximo valores únicos, en lugar de . Poderíamos, polo tanto, esperar que a solución dun sistema Toeplitz fose máis fácil, e de feito ese é o caso.
Os sistemas Toeplitz pódense resolver mediante algoritmos como o algoritmo de Schur ou o algoritmo de Levinson en tempo .
Unha matriz de Toeplitz tamén se pode descompoñer (é dicir, factorizar) en tempo . O algoritmo de Bareiss para unha descomposición LU é estábel. Unha descomposición LU proporciona un método rápido para resolver un sistema de Toeplitz, e tamén para calcular o determinante.
Propiedades
O conxunto das matrices de Toeplitz son un subespazo do espazo vectorial das matrices (baixo suma matricial e multiplicación escalar). As matrices de Toeplitz son persimétricas . As matrices de Toeplitz simétricas son tanto centrosimétricas como bisimétricas. As matrices de Toeplitz tamén están estreitamente relacionadas coas series de Fourier, porque o operador de multiplicación por un polinomio trigonométrico, comprimido nun espazo de dimensión finita, pode ser representado por tal matriz. Do mesmo xeito, pódese representar a convolución linear como multiplicación por unha matriz de Toeplitz. As matrices de Toeplitz conmutan de forma asintótica. Isto significa que diagonalizan na mesma base cando a dimensión da fila e da columna tende ao infinito.
Para as matrices de Toeplitz simétricas, existe a descomposición
onde é a parte triangular inferior de .
A inversa dunha matriz de Toeplitz simétrica non singular ten a representación
onde e son matrices de Toeplitz triangulares inferiores e é unha matriz triangular estritamente inferior.
Convolución discreta A operación de convolución pódese construír como unha multiplicación matricial, onde unha das entradas se converte nunha matriz de Toeplitz. Por exemplo, a convolución de e pódese formular como:
Este enfoque pódese estender para calcular a autocorrelación, a correlación cruzada, a media móbil, etc.
Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Matriz circulante Matriz de Hankel
Ligazóns externas R. M. Gray , Toeplitz and Circulant Matrices
Categoría:Matrices