O teorema de Borsuk–Ulam é un resultado da topoloxía alxébrica que afirma que toda aplicación continua dunha esfera -dimensional no espazo euclidiano da mesma dimensión identifica algún par de puntos antípodas. Máis precisamente, para toda aplicación continua existe tal que .Karol Borsuk, «Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre», Fundamenta Mathematicae, 20, 1933, pp. 177–190, doi:10.4064/fm-20-1-177-190.

O teorema relaciona a simetría antipodal da esfera coa dimensión do espazo de chegada. Ten numerosas formulacións equivalentes e aplicacións en xeometría, combinatoria, teoría de grafos e problemas de partición xusta. Entre as súas consecuencias máis coñecidas están o teorema do sándwich de xamón, unha forma do teorema de Lusternik–Schnirelmann sobre recubrimentos de esferas e resultados de non mergullamento.Jiří Matoušek, Using the Borsuk–Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry, Springer, 2003, capítulos 2 e 3, doi:10.1007/978-3-540-76649-0, ISBN 978-3-540-00362-5.

O resultado foi conxecturado por Stanisław Ulam e demostrado por Karol Borsuk. Borsuk publicou a demostración en 1933 no artigo Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre.

Enunciado Considérese a esfera unitaria

Os puntos e chámanse antípodas. alt=Dous puntos antipodais da esfera están unidos por un diámetro que pasa polo seu centro.|miniatura|Dous puntos antipodais da esfera están unidos por un diámetro que pasa polo seu centro. Teorema de Borsuk–Ulam. Para toda aplicación continua , existe un punto tal que .

O resultado non afirma que todos os pares de antípodas teñan a mesma imaxe, nin determina onde se atopa o par.

Casos de dimensión baixa

Para , a esfera aplícase no espazo formado por un punto, ; o resultado é inmediato. Para , toda función continua toma o mesmo valor nalgún par de puntos opostos. Isto dedúcese do teorema do valor intermedio aplicado a . Para , toda aplicación continua da superficie dunha esfera no plano () identifica un par de puntos diametralmente opostos.

Formulacións equivalentes O teorema admite varias formulacións equivalentes.Philip Bacon, «Equivalent Formulations of the Borsuk-Ulam Theorem», Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pp. 492–502, doi:10.4153/CJM-1966-049-9.

Aplicación impar con cero Unha aplicación é impar se . O teorema é equivalente á afirmación: toda aplicación continua e impar ten un cero.

En efecto, dada , a aplicación

é continua e impar. Un cero de é precisamente un punto no que .

Non existencia de aplicacións impares entre esferas Outra formulación equivalente é: non existe ningunha aplicación continua e impar .

Se unha aplicación impar non tivese ceros, a normalización

produciría unha aplicación continua e impar . Reciprocamente, a inclusión convertería unha aplicación impar entre as esferas nunha aplicación impar sen ceros.

Demostración en dimensión un Sexa continua. Defínese

A función é continua e impar, pois . Escóllase un punto . Se , xa se ten . Se , os valores e teñen signos opostos. Calquera semicircunferencia que una con é a imaxe dun intervalo; polo teorema do valor intermedio, anúlase nalgún punto desa semicircunferencia.

Demostración en dimensión dous Esta demostración utiliza o cálculo e o feito de que toda aplicación impar ten grao impar.James R. Munkres, Topology, 2ª ed., Prentice Hall, 2000, sección 55, ISBN 978-0-13-181629-9.

Lema sobre aplicacións impares da circunferencia Sexa unha aplicación continua e impar. Entón o seu grao é impar.

Para velo, represéntase mediante . Sexa un levantamento de . A condición implica que

Esta diferenza é continua e toma valores nun conxunto discreto, polo que é constante. Aplicándoa dúas veces obtense

para algún .

Imposibilidade dunha aplicación impar S² → S¹ Supoñamos que existe unha aplicación continua e impar . Restrínxese ao ecuador mediante a inclusión . A composición é impar e, polo lema anterior, ten grao impar.

Por outra banda, como , o homomorfismo

é trivial. Pola funtorialidade do grupo fundamental, tamén é trivial. Polo tanto, ten grao cero, en contradición con que o seu grao é impar. Non pode existir unha aplicación continua e impar .

Conclusión para S² Sexa continua. Se para todo , a aplicación

sería unha aplicación continua e impar , que se acaba de demostrar que non existe. En consecuencia, debe existir tal que .

Consecuencias directas

Non existencia de aplicacións inxectivas Non existe ningunha aplicación continua inxectiva . En efecto, o teorema proporciona un punto tal que , e en .

Como é compacto e os subespazos de son Hausdorff, toda aplicación continua e inxectiva sería un mergullamento topolóxico. Así, non é homeomorfa a ningún subespazo de .

Recubrimentos de esferas O teorema de Lusternik–Schnirelmann afirma que se está cuberta por conxuntos pechados, polo menos un deles contén un par de puntos antípodas.

No caso , sexan pechados que cobren . Defínese

Polo teorema de Borsuk–Ulam existe tal que . Se unha das dúas coordenadas é cero, e pertencen ao pechado correspondente. Se ambas son positivas, ningún dos dous puntos pertence a , polo que ambos pertencen a .

Teorema do sándwich de xamón O teorema do sándwich de xamón afirma que, dadas medidas finitas adecuadas en , existe un hiperplano que divide simultaneamente cada medida en dúas partes iguais. Unha versión habitual supón que as medidas son absolutamente continuas respecto da medida de Lebesgue, para evitar masa concentrada no hiperplano de corte.

Para demostrar o resultado, parametrízanse os semiespazos orientados mediante puntos de . A cada orientación e desprazamento así parametrizados asígnanselle as diferenzas entre as medidas situadas a ambos lados. Obtense unha aplicación continua e impar . Un cero, garantido por Borsuk–Ulam, corresponde a un hiperplano que biseca todas as medidas.

En dimensión dous, isto significa que unha soa recta pode dividir simultaneamente en dúas metades de igual área dous conxuntos medibles. En dimensión tres, un só plano pode bisecar simultaneamente tres corpos.

Teorema do punto fixo de Brouwer O teorema de Borsuk–Ulam implica o teorema do punto fixo de Brouwer. Unha vía de demostración consiste en supoñer unha aplicación sen puntos fixos, construír a partir dela unha retracción e empregar unha formulación equivalente de Borsuk–Ulam para obter unha contradición.

Interpretacións e exemplos

Exemplo meteorolóxico Se a superficie terrestre se idealiza como e a temperatura e a presión se modelan como funcións continuas da posición nun instante fixo, a aplicación

ten o mesmo valor nalgún par de puntos antípodas. Polo tanto, baixo esas hipóteses idealizadas, existen dous puntos opostos da Terra coa mesma temperatura e a mesma presión. miniatura|571x571px|Caso unidimensional aplicado ao ecuador terrestre. Os ceros da función diferenza correspóndense con pares de puntos opostos coa mesma temperatura. O exemplo é unha interpretación matemática, non unha afirmación de exactitude física: a Terra non é unha esfera perfecta e as magnitudes observadas poden non comportarse como funcións continuas a todas as escalas.

O mesmo resultado pode aplicarse ao ecuador terrestre. Se consideramos ao ecuador como , e consideramos a función temperatura como continua (algo que non sempre sucede), o teorema asegura que sempre existe un par de puntos opostos no ecuador que teñen a mesma temperatura.

Esmagar unha esfera Se unha superficie esférica se deforma continuamente e se proxecta nun plano, polo menos un par de puntos que eran antípodas antes da deformación remata no mesmo punto. A deformación pode ser moi irregular; o resultado depende unicamente da continuidade.

Notas

Véxase tamén Bibliografía Karol Borsuk (1933). «Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre». Fundamenta Mathematicae, 20, 177–190. Jiří Matoušek (2003). Using the Borsuk–Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry. Springer. . ISBN 978-3-540-00362-5. Allen Hatcher (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. James R. Munkres (2000). Topology (2ª ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. László Lovász (1978). «Kneser's conjecture, chromatic number, and homotopy». Journal of Combinatorial Theory, Series A, 25(3), 319–324. Philip Bacon (1966). «Equivalent Formulations of the Borsuk-Ulam Theorem». Canadian Journal of Mathematics, 18, 492–502. doi:10.4153/CJM-1966-049-9. Outros artigos Teorema do punto fixo de Brouwer Grupo fundamental

Ligazóns externas Artigo orixinal de Borsuk no Instituto de Matemáticas da Academia Polaca de Ciencias. Using the Borsuk–Ulam Theorem en Springer.

Categoría:Topoloxía