En topoloxía, un operador de prepechamento ou operador de pechamento de Čech é unha aplicación entre subconjuntos dun conxunto, similar a un operador de pechamento topolóxico, agás que non se require que sexa idempotente. É dicir, un operador de prepechamento obedece a só tres do catro axiomas de pechamento de Kuratowski.
Definición Un operador de prepechamento nun conxunto é unha aplicación
onde é o conxunto potencia de , que satisfai as seguintes propiedades para todos os conxuntos :
O último axioma implica o seguinte
4.
Topoloxía Un conxunto dise que é pechado (con respecto ao prepechamento) se . Un conxunto é aberto (con respecto ao prepechamento) se o seu complemento é pechado. A colección de todos os conxuntos abertos xerados polo operador de prepechamento previo é unha topoloxía; con todo, a topoloxía anterior non sempre reflicte a noción de converxencia asociada ao operador, para iso débese considerar o concepto de pretopoloxía.
Exemplos
Espazos métricos e pre-métricos Dada unha métrica ou premétrica sobre un conxunto , entón a aplicación dada por
para todo , é un prepechamento sobre Cando é unha métrica, o operador resultante é idempotente e a coincide coa clausura topolóxica usual asociada ao espazo métrico . Con premétricas máis xerais, a idempotencia pode fallar, dando lugar a estruturas de clausura que non necesariamente proceden dunha topoloxía.
Espazos secuenciais O operador de pechamento secuencial é un operador de prepechamento. Dada unha topoloxía con respecto á cal se define o operador de pechamento secuencial, o espazo topolóxico é un espazo secuencial se e só se a topología xerada por é igual a , é dicir, se
Grafos Os operadores de pechamento de Čech proporcionan unha forma natural de representar grafos como estruturas de pechamento. Para un grafo simple , pódese definir a clausura dun conxunto mediante
En particular, para un vértice ,
onde é o conxunto dos seus veciños.
Esta operación é un operador de clausura de Čech, que, en xeral, non é idempotente (os veciños dun vértice poden ter veciños que non son veciños do vértice orixinal). Deste xeito, a iteración deste operador describe a expansión do conxunto por veciños en niveis de adxacencia cada vez menores.
Análise combinatoria e informática Os pechamentos de Čech tamén permiten tratar de maneira uniforme grafos, espazos métricos discretos e espazos topolóxicos, o que resulta útil en topoloxía dixital e análise combinatoria. Teoría que foi aplicada, entre outros ámbitos, ao recoñecemento de formas, análise de imaxes, aprendizaxe supervisada e modelización de sistemas complexos.
Notas
Véxase tamén
Bibliografía A.V. Arkhangelskii, L.S. Pontryagin, General Topology I, (1990) Springer-Verlag, Berlin. . B. Banaschewski, Bourbaki's Fixpoint Lemma reconsidered, Comment. Math. Univ. Carolinae 33 (1992), 303–309. Outros artigos Eduard Čech
Categoría:Operadores de pechamento