miniatura|Enunciado xeométrico do teorema de Pitágoras: A suma das áreas dos dous cadrados de lados respectivos os catetos (a e b) é igual á área do cadrado de lado a hipotenusa (c).
O Teorema de Pitágoras é unha relación entre os tres lados dun triángulo rectángulo. Establece que o cadrado da hipotenusa é igual á suma dos cadrados dos catetos; é dicir, se a e b son as lonxitudes dos catetos e c a da hipotenusa do triángulo rectángulo, verifícase a chamada "igualdade pitagórica":
O teorema leva o nome do matemático grego Pitágoras (ca. 570 a.C.—ca. 495 a.C.), a quen a tradición atribúe a súa demostración, se ben arguméntase frecuentemente que o coñecemento de teorema é anterior. Hai evidencias de que os babilonios coñecían e entendían a fórmula, mais chegaron ata nós poucas evidencias de que a usaran como ferramenta matemática. Para un punto de vista diferente, véxase , onde se especula con que a primeira columna da táboa 322 da colección Plimpton amosa un coñecemento dalgúns elementos de trigonometría dos babilonios. Esta opinión é tamén sostida en . Véxase tamén . A opinión xeralmente aceptada hoxe en día é a de que os babilonios non tiñan coñecemento das funcións trigonométricas, véxase ..
O teorema ten numerosas demostracións, posibelmente é o teorema matemático con máis demostracións. Hainas de todo tipo, tanto demostracións xeométricas como alxébricas, tendo algunhas delas algúns milenios de existencia. O teorema pode ser xeneralizado de múltiples formas, en espazos de dimensións superiores e en espazos non euclidianos, a obxectos que non son triángulos rectángulos é, de feito, a obxectos que nin sequera son triángulos como os sólidos n-dimensionais. O teorema de Pitágoras ten interese fóra das matemáticas como símbolo da dificultade matemática, da mística, ou do poder intelectual. Hai referencias populares dabondo na literatura, teatro, música, cancións, selos e viñetas.
Historia miniatura|A táboa babilonia Plimpton 322 ten gravadas ternas pitagóricas. Hai un debate sobre se o teorema de Pitágoras foi descuberto unha vez ou varias veces en moitos lugares.
A historia do teorema pode dividirse en catro partes: coñecemento das ternas pitagóricas, coñecemento da relación entre os lados dun triángulo rectángulo, coñecemento das relacións entre ángulos adxacentes, e demostracións do teorema no ámbito dun sistema dedutivo.
Bartel Leendert van der Waerden (1903–1996) conxecturou que as ternas pitagóricas foron descubertas alxebricamente polos babilonios. Escrito entre 2.000 e 1.786 a.C., o papiro Berlin 6619 do período medio do imperio exipcio inclúe un problema cuxa solución é a terna pitagórica 6:8:10, mais o problema non menciona ningún triángulo. A táboa mesopotámica Plimpton 322, escrita entre os anos 1790 e 1750 a.C. durante o reinado de Hammurabi o Grande, contén moitos exemplos intimamente relacionados coas ternas pitagóricas.
Na India, o Sulba Sutra escrito por Baudhayana en data incerta entre os séculos VIII e II a.C., contén unha lista de ternas pitagóricas descubertas alxebricamente, un enunciado do teorema de Pitágoras, e unha demostración xeométrica deste para un triángulo rectángulo isóscele. O Sulba Sutra de Apastamba (ca. 600 a.C.) contén unha demostración numérica do caso xeral do teorema de Pitágoras, usando un cómputo de áreas. Van der Waerden cría que dita demostración "estaba certamente baseada en tradicións antigas". Carl Benjamin Boyer pensaba que os elementos achados en Śulba-sũtram debían ter raíces mesopotámicas. Véxase tamén .
miniatura|250px|Demostración xeométrica do teorema de Pitágoras no Zhoubi suanjing. Con contidos coñecidos desde moito antes, mais sobreviventes en textos datados arredor do século I a.C., o texto chinés Zhoubi suanjing ("A aritmética clásica do Gnomon e as sendas circulares do Ceo") proporciona un razoamento do teorema de Pitágoras para o triángulo de lados (3, 4, 5), coñecido na China como o "teorema Gougu" (勾股定理)Unha discusión máis extensa sobre as orixes dos textos do Zhou Bi pode consultarse en . Durante a dinastía Han (202 a.C. a 220 d.C), aparecen ternas pitagóricas no libro Os Nove Capítulos sobre a Arte MatemáticaEste traballo é unha compilación de 246 problemas, algúns dos cales sobreviviron á queima do libro en 213 a.C., e foron postos na forma final antes da fin do século I. Foi amplamente comentado por Liu Hui no ano 263 , Véxase en particular §3: Nine chapters on the mathematical art, páxinas 71 e seguintes., xunto cunha mención aos triángulos rectángulos. Algúns cren que o teorema xurdiu primeiro na ChinaEn particular, Li Jimin; véxase , onde é coñecido como o "teorema Shang Gao" (商高定理), nomeado así con posterioridade ao astrónomo e matemático do Duque de Zhou, cuxo razoamento compuxo a meirande parte do que está no Zhou Bi Suan Jing.
Pitágoras (569 a.C. - 475 a.C.) usou métodos alxébricos para construír ternas pitagóricas, de acordo co comentario de Proclo sobre Euclides. Proclo, porén, escribiu entre o 410 e o 485 d.C. Segundo Sir Thomas L. Heath (1861–1940), non existe ningunha atribución específica do teorema a Pitágoras na literatura grega que se conserva dos cinco séculos posteriores á época de Pitágoras. Non obstante, cando autores como Plutarco e Cicerón atribuíron o teorema a Pitágoras, fixérono dun xeito que suxería que dita atribución era amplamente coñecida e fóra de toda dúbida. "Se esta fórmula é correctamente atribuída ao propio Pitágoras, [...] pódese asumir con certeza que pertence ao período máis antigo das matemáticas pitagóricas"Unha cuidadosa discusión das contribucións de Hippasus áchase en
Segundo Proclo, arredor do 400 a.C. Platón deu un método para encontrar ternas pitagóricas que combinaba álxebra e xeometría. A demostración axiomática do teorema máis antiga que se coñece aparece nos Elementos de Euclides arredor do 300 a.C.
Outras formas do teorema Como xa se indicou na introdución, se c denota a lonxitude da hipotenusa e a e b denotan as lonxitudes dos catetos, o teorema de Pitágoras pode expresarse mediante a ecuación pitagórica:
isto é: "En todo triángulo rectángulo, a hipotenusa ao cadrado é igual á suma dos cadrados dos catetos".
Se a lonxitude dos catetos a e b é coñecida, entón a hipotenusa c pode calcularse sen máis que despexala na ecuación pitagórica:
isto é: "A hipotenusa é igual á raíz cadrada da suma dos cadrados dos catetos".
Se a lonxitude da hipotenusa c e a dun cateto (a ou b) son coñecidas, a lonxitude do outro cateto pode calcularse igualmente despexándoo na ecuación pitagórica:
ou
A ecuación pitagórica relaciona os lados dun triángulo rectángulo dun xeito simple, de modo que se as lonxitudes de dous lados son coñecidas, pódese calcular a lonxitude do terceiro lado. Outro corolario do teorema é que, en calquera triángulo rectángulo, a hipotenusa é maior que calquera dos catetos, pero menor ca suma destes.
Teorema de Pitágoras xeneralizado
Unha xeneralización deste teorema é o teorema do coseno, que permite calcular a lonxitude dun lado de calquera triángulo coñecidos os outros dous lados e o ángulo comprendido entre eles. Se dito ángulo é recto, o teorema do coseno redúcese á ecuación pitagórica.
A forma matemática do teorema do coseno é:
Sendo o ángulo oposto ao lado a.
Demostracións O teorema de Pitágoras é dos que contan cun maior número de demostracións diferentes, utilizando métodos moi diversos. Unha das causas disto é que na Idade Media se esixía unha nova demostración del para acadar o grao de Magíster matheseos.
Algúns autores propoñen ata máis de mil demostracións. Outros autores, como o matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogou 367 probas diferentes no seu libro de 1927 The Pitagoream Proposition. Para o texto completo da edición de 1940, véxase .
Nese mesmo libro, Loomis clasificaría as demostracións en catro grandes grupos: as alxébricas, onde se relacionan os lados e mailos segmentos do triángulo; as xeométricas, nas que se realizan comparacións das áreas; as dinámicas, a través das propiedades de forza, masa; e as cuaterniónicas, mediante o uso de vectores.
Demostración pitagórica miniatura|A demostración pitagórica. O teorema de Pitágoras xa era longamente coñecido antes da súa época, mais el debeu ser o primeiro en demostralo. De calquera xeito, a demostración atribuída a Pitágoras é moi simple, e é unha proba das chamadas por reagrupamento.
Os dous cadrados máis grandes, de áreas iguais, que se mostran na figura conteñen, cada un, catro triángulos idénticos, e a única diferenza entre eles radica en que os triángulos están dispostos de forma diferente en cada cadrado. Polo tanto, as superficies de cor branca en cada cadrado grande deben ter a mesma área. Dita área no cadrado da esquerda é c2, mentres que no da dereita é a suma das áreas a2 e b2 dos dous cadrados que a forman. Igualando as áreas destas superficies obtense o resultado do teorema, QED.
O feito de que Pitágoras orixinara esta moi simple proba infírese dos escritos do filósofo e matemático grego tardío, Proclo. A continuación amósanse algunhas outras demostracións do teorema, mais esta é a que se coñece como a pitagórica.
Demostración de Euclides miniatura|Presentación animada da demostración de Euclides. A demostración presentada por Euclides nos Elementos apóiase por un lado no caso de igualdade de dous triángulos que teñen un ángulo da mesma medida entre dous lados coas mesmas lonxitudes, e por outra parte sobre a proposición XLI do libro I:
miniatura|esquerda|Figura para a demostración de Euclides. A demostración comeza construíndo cadrados sobre os lados dun triángulo rectángulo: Sexa ABC o triángulo rectángulo co ángulo recto en A, e sexan BCED, ABFG e ACIH os tres cadrados construídos exteriormente sobre os lados. A altura de ABC que parte do vértice A corta ao lado oposto BC en J e ao segmento DE en K
Trátase de demostrar que a área do cadrado BCED é igual á suma das áreas dos cadrados ABFG e ACIH.
Os triángulos BCF e ABD teñen un ángulo igual en B (a súa medida é a do ángulo agudo en B do triángulo ABC aumentada nun ángulo recto) e por construción e . Polo tanto os triángulos BCF e ABD teñen a mesma área. Agora ben, segundo a proposición XLI mencionada, a área do triángulo BCF vale a metade da do cadrado ABFG e a área do triángulo ABD vale a metade da do rectángulo BDKJ. Polo tanto o cadrado ABFG e o rectángulo BDKJ teñen mesma área.
Do mesmo xeito, os triángulos BCI e ACE teñen un ángulo igual en C coas igualdades e , polo tanto ambos triángulos teñen a mesma área. E segundo a proposición XLI, o cadrado ACIH ten a mesma área que o rectángulo CEKJ.
Finalmente, o cadrado BCED descomponse en dous rectángulos BDKJ e CEKJ, cuxas áreas son as de ABFG e ACIH respectivamente q.e.d.
Demostración por semellanza de triángulos Esta demostración está baseada na proporcionalidade dos lados de dous triángulos semellantes, isto é, no feito de que a razón dos lados correspondentes de triángulos semellantes é sempre a mesma, independentemente do tamaño dos triángulos.
No triángulo da figura de hipotenusa c e catetos a e b, trázase a altura f sobre a hipotenusa. Obtéñense así dous triángulos rectángulos (un de hipotenusa a e catetos d e f, e outro de hipotenusa b e catetos e e f) semellantes ao inicial. Pola semellanza de cada un destes triángulos co inicial, téñense as igualdades: miniatura|esquerda|Proba por semellanza de triángulos.
Como e substituíndo polas igualdades (1) e (2):
Multiplicando todo por c obtense o teorema: