Az Hermite-polinomok olyan polinomok, amelyek kielégítik a következő differenciálegyenletet:
Ekvivalens alakban
Explicit alak Az Hermite-polinomok explicit alakban is megadhatók Faà di Bruno képlete szerint:
Az első néhány Hermite-polinom
Rekurziós formula Az Hermite-polinomok a következő rekurzióval számíthatók:
Tulajdonságok Mivel minden iterációs lépésben -szel vett szorzat szerepel, azért látszik, hogy n-edfokú, és főegyütthatója . Páros n-re páros függvény, páratlan n-re páratlan. Vagyis
Egy másik lehetőség a definícióra:
Az Hermite-polinomok kielégítik a következő differenciálegyenletet:
Rekurziós formula:
Ortogonális rendszer Az Hermite-polinomok teljesítik ezt az ortogonalitási relációt:
Ez azt jelenti, hogy bizonyos valós függvények sorba fejthetők az Hermite-polinomok szerint.
Történetük A Hermite-polinomokat először Pierre-Simon Laplace definiálta 1810-ben szinte felismerhetetlen formában. Részletesen aztán Pafnutyij Csebisev tanulmányozta őket 1859-ben. Csebisev munkája akkoriban elkerülte a figyelmet, és ezért később Charles Hermite után nevezték el őket, aki 1864-ben írt a polinomokról mint új felfedezésről. Mindazonáltal nem voltak újak, bár Hermite volt az első, aki a többdimenziós polinomokat definiálta.
Alkalmazásuk Az Hermite-polinomok sokoldalú fizikai alkalmazásaik által válnak jelentőssé. Példa: a kvantummechanikai harmonikus oszcillátor ortonormált megoldásfüggvényeinek előállítása. Ezek az Hermite-függvények, amik a normális eloszlás eloszlásfüggvényével szorozva és megfelelően normálva kaphatók az Hermite-polinomokból.
Források I. N. Bronstein u.A.: Taschenbuch der Mathematik 5. kiadás. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, Thun, 2001 (Magyarul: Bronstejv-Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv (Műszaki, 1987) ) Milton Abramowitz és Irene Stegun: Pocketbook of Mathematical Functions Murray R. Spiegel, Höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler McGraw-Hill Eric W. Weisstein. „Hermite Polynomial.“ From MathWorld – A Wolfram Web Resource A Bad Saulgau tanulói kutatóközpont jegyzete
Kategória:Analitikus függvények