Az Einstein-egyenletek az általános relativitáselmélet alapvető egyenletei, amelyek a téridő geometriája és az anyag energia- és impulzuseloszlása közötti összefüggést adják meg. A téridő az általános relativitáselméletben Lorentz-sokaság, amelynek geometriáját a metrikus tenzor () határozza meg, az anyag (amelybe beleértendő például az elektromágneses mező is) energiájának és impulzusának eloszlását pedig az energia-impulzus tenzor írja le.
Matematikai alak
Az Einstein-egyenletek egy tenzoregyenletet alkotnak, amelynek alakja a következő:
ahol az Einstein-tenzor, a kozmológiai állandó, a gravitációs állandó, a fénysebesség, pedig az energia-impulzus tenzor; a együtthatót Einstein-féle gravitációs állandónak nevezik és -val jelölik. Ezt az egyenletet először Albert Einstein közölte 1915-ben, még a kozmológiai tag nélkül. A kozmológiai állandót Einstein 1917-ben vezette be.
definíciója szerint
ahol a Ricci-tenzor, a Ricci-skalár, így az Einstein-egyenletek a következő alakban is írhatók:
Mivel és szimmetrikus tenzorok, -nek is szimmetrikusnak kell lennie. Négy dimenzióban (az adott esetben ez a téridő négy dimenziója) a szimmetrikus kétindexes tenzoroknak 10 lineárisan független komponense van (a kétindexes tenzorok komponenseinek száma 4 dimenzióban 16), így az Einstein-egyenletek egy 10 skaláregyenletből álló rendszert alkotnak. A metrikus tenzorra vonatkozóan ez egy nemlineáris másodrendű parciális differenciálegyenlet-rendszer.
Az Einstein-egyenletekben szereplő energia-impulzus tenzort metrikus energia-impulzus tenzornak, Hilbert energia-impulzus tenzornak vagy Einstein–Hilbert energia-impulzus tenzornak is nevezik.
Az Einstein-egyenletektől függetlenül az Einstein-tenzorra és a metrikus tenzorra matematikai azonosságként teljesül, hogy illetve (ahol a metrikához tartozó Levi-Civita kovariáns deriválást jelöli), így ha az Einstein-egyenletek fennállnak, akkor az energia-impulzus tenzorra is érvényes, hogy
Ez az egyenlőség hasonlít a speciális relativitáselméletben szokásos energia-impulzus megmaradási egyenletre ().
Ekvivalens alak
Az Einstein-egyenleteket -vel összeejtve az adódik, hogy
ahol . Visszahelyettesítve az eredeti egyenletbe az Einstein-egyenletek következő, az eredetivel ekvivalens „fordított nyomú” alakját kapjuk:
Einstein eredeti cikkében lényegében ez az alak szerepel (a kozmológiai állandó nélkül).
Az Einstein-egyenletek vákuumban
Vákuum esetén (tehát ha nincs anyag a téridőben) zérus. Ekkor a fordított nyomú Einstein-egyenletek a
alakot öltik (továbbá a Ricci-skalárra ). Ezek az általános relativitáselmélet üres-tér egyenletei. Ezen egyenletek megoldásai szolgáltatják az összes vákuum-megoldásokat. Ezek Einstein-sokaságok, illetve esetén Ricci-lapos sokaságok is. esetén a Lambda-vákuum elnevezés is használatos.
Hatásintegrál
A vákuumbeli Einstein-egyenletek mint a metrikus tenzorra vonatkozó differenciálegyenletek levezethetők a metrikus tenzor szerinti variálással az
hatásból kiindulva, ahol a metrikus tenzor determinánsát jelöli. Ennek a hatásnak a kozmológiai állandó nélküli változatát, amelyet David Hilbert vezetett be 1915-ben, Hilbert-hatásnak vagy Einstein–Hilbert-hatásnak nevezik.
Az Einstein-egyenletek gyakran nemnulla energia-impulzus tenzor esetén is megkaphatók a metrikus tenzor szerinti variálással valamely
alakú hatásból, ahol általában az anyagot leíró változóktól és a metrikus tenzortól függ. Ekkor a metrikus tenzor szimmetrikussága miatt az energia-impulzus tenzor szimmetrikussága garantált.
A linearizált Einstein-egyenletek
Az Einstein-egyenletek nemlinearitása megnehezíti az egzakt megoldások megtalálását. Ha a keresett metrika csak kismértékben tér el a Minkowski-metrikától, akkor egy lehetséges módszer a probléma egyszerűsítésére a lineáris közelítés (linearizálás) alkalmazása. A keresett metrikát ekkor a Minkowski-metrika és egy tag összegeként írjuk fel, és az Einstein-egyenletekben a -ben magasabb rendű tagokat elhanyagoljuk. Így a -re egy lineáris parciális differenciálegyenletrendszer adódik. Ez a linearizálási eljárás használható például a gravitációs sugárzás jelenségeinek vizsgálatára.
Irodalom L. D. Landau, E. M. Lifsic: Elméleti fizika II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1976, Novobátzky Károly: A relativitás elmélete. Tankönyvkiadó, Budapest, 1963 Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó, Budapest, 2006,
Jegyzetek
További információk
Albert Einstein: The Field Equations of Gravitation, 1915
Kategória:Általános relativitáselmélet