A matematikában a számtani-mértani sorozatok (angolul: ) olyan sorozatok, amelyek valamilyen módon általánosítják a számtani és mértani sorozatokat.
A név kétértelműsége Mivel az általánosítás nem csak egyféleképpen tehető meg, ezért ezen név alatt több dolog is érthető. Az angol és amerikai szakirodalomban a számtani-mértani sorozatok, azaz az sorozatok, egy számtani és egy mértani sorozat tagonkénti összeszorzásának eredményei. Ezzel szemben a francia szakirodalomban ugyanezen név () alatt egy bizonyos lineáris rekurziót teljesítő sorozatokat értenek.
Angol értelmezés Az angol szakirodalomban a számtani-mértani sorozatok olyan sorozatok, amelyek egy számtani és egy mértani sorozat tagonkénti összeszorzásának eredményei. Azaz egy számtani-mértani sorozat n-edik tagja egy számtani sorozat n-edik és egy mértani sorozat n-edik tagjának szorzata. A matematika különböző területein megjelennek az ilyesféle sorozatok, például a valószínűségszámításon belül bizonyos várható érték problémáknál. Például, a
sorozat egy ilyen sorozat. A számtani komponens a számlálóban jelenik meg (kékkel jelölve), míg a mértani rész a nevezőben található (zölddel jelölve).
A sorozat tagjai Egy a kezdőértékű, d különbségű számtani sorozat (kékkel jelölve); és egy b kezdőértékű, q hányadosú mértani sorozat (zölddel jelölve) tagonkénti összeszorzásából adódó sorozat első pár tagja a következőképpen alakul:
Tagok összege Egy számtani-mértani sorozat első n tagjának összege
a következő zárt képletek valamelyikével számítható:
Levezetés A következőkben az első képlet levezetése következik. Mivel b mint szorzótényező minden tagban megtalálható, ezért elég csak a végén megszorozni az összeget b-vel, hogy a b értékét figyelembe vegyük, így a továbbiakban feltételezzük, hogy b = 1.
A két egyenletet egymásból kivonva azt kapjuk, hogy
majd az utolsó sort átrendezve megkapjuk, hogy
Végtelen sorként Az első n tag összegképletéből látható, hogy akkor konvergens egy végtelen számtani-mértani sor, ha |q| < 1, ekkor a határértéke
Ha nem teljesül a |q| < 1 feltétel, akkor a sorozat
konvergens, ha a és d nulla, ekkor a sor összege is nulla; alternáló, ha q < -1 (és a vagy d nem nulla); divergens, ha 1 < q (és a vagy d nem nulla).
Alkalmazás Geometriai eloszlás várható értéke A p paraméterű geometriai eloszlás várható értéke definíció szerint a következőképpen számolható: .
Ebből a p szorzótényezőt kiemelve és fenti összegképletet alkalmazva:
.
Valóban a geometriai eloszlás várható értékét kapjuk. Mivel az összegképlet csak esetben alkalmazható (hiszen a sor csak ekkor konvergens), ezért a p = 0 esetet külön kell kezelni.
Francia értelmezés A francia szakirodalomban a számtani-mértani sorozatok olyan sorozatok, amelyek egy lineáris rekurzív relációt teljesítenek, ezáltal általánosítva a számtani és mértani sorozatokat.
Definíció Egy számtani-mértani sorozat a következő lineáris rekurzív relációval definiálható:
ahol az első tag, q és d adott.
Ha q = 1, akkor a sorozat egy számtani sorozatra, ha pedig d = 0, akkor mértani sorozatra redukálódik.
Emiatt a továbbiakban csak a q ≠ 1 esettel foglalkozunk.
A sorozat tagjai Először is legyen és a továbbiak megkönnyítése érdekében. Ahhoz, hogy ezen rekurzióhoz zárt képletet találjuk, a következő ötletet alkalmazhatjuk: tekintsük a sorozat tagjait q számrendszerbeli számoknak. Noha nem feltétlenül kapunk érvényes q számrendszerbeli számokat (hiszen A és D lehet nagyobb, mint q), ezzel a módszerrel megkönnyíthetjük egy adott és tag ábrázolását, és rögtön megkapjuk a zárt képletet. Ekkor a tagok ábrázolása q számrendszerben a következőképpen alakul:
Ez azért működik, mert a rekurzív képletben a q-val való szorzásnak olyan hatása van, mintha q számrendszerben egy helyi értékkel minden számjegyet balra toltunk volna. A d hozzáadása pedig felfogható hozzáadásaként, azaz tulajdonképpen az "egyesek" helyére szúrunk be d-t.
Mivel látható, hogy az n-edik tag pontosan n darab q számrendszerbeli számjegyből áll, amelyek közül a legnagyobb helyi értéken A, a többin mind D áll, ezért n-edik tag felírható a következőképpen:
Tagok összege Miután tudjuk, hogy hogyan fejezzük ki a sorozat n-edik tagját, már könnyen felírhatjuk az első n tag összegét.
A két oldalt összeadva:
Alkalmazás Egyszerű populációs modell Számtani-mértani sorozatokkal modellezhetőek például populációk (konstans beáramlás, arányos fogyás stb.). Ha például egy városból minden évben elvándorol a lakosság tíz százaléka, de év végén mindig betelepítenek ezer embert, akkor a következő sorozattal modellezhető a város lakossága:
Ha eredetileg fő volt az első év végén, akkor könnyen kiszámítható, hogy a ötvenedik év végén körülbelül ember fog élni a városban.
Hiteltörlesztés Megtalálhatóak pénzügyi kontextusban is: t százalékos havi kamatra felvett C összeg esetén, havi M összeg befizetése mellett, a befizetendő összeg a következő sorozattal modellezhető (befizetés előtti kamatszámítást feltételezve):
ahol a felvett összeg, azaz az, amivel eredetileg tartozunk a banknak, a további értékek pedig n-dik havi kamatszámítás és törlesztés után hátramaradó tartozást jelentik.
Ez alapján gyorsan kiszámítható, hogy a felvett forint törlesztése, havi 5%-os kamatra és havi forint befizetése mellett hány hónap alatt lehetséges:
Azaz a 23-dik hónap végére törleszthető a felvett összeg (azaz 23 befizetés után). Ezen idő alatt az összesen visszafizetett összeg valamivel több, mint forint (ugyanis az utolsó törlesztésnél nem kell a teljes forintot befizetni).
Kétállapotú Markov-láncokban
Kétállapotú Markov-láncokban a sztochasztikus mátrix a következőféleképpen felírható:
Mivel
ebből kifolyólag
Viszont
ezért
amely az explicit képlet segítségével egyszerűen számítható tetszőleges n értékre.
Fordítás
Jegyzetek
Kategória:Sorozatok