A karakterisztikus függvény a valószínűségszámításban egy speciális, komplex értékű függvény, ami véges mértékekhez vagy szűkebb értelemben valószínűségi mértékekhez, illetve eloszlásokhoz rendelhető hozzá. A hozzárendelés bijektív, a karakterisztikus függvény meghatározza az eloszlást.
Jelentőségét az adja, hogy a valószínűségeloszlások egyes tulajdonságait könnyebb megismerni a karakterisztikus függvényből, mint az eloszlásból vagy más függvényekből. Így a valószínűségi mértékek konvolúciójára a karakterisztikus függvények szorzatából lehet következtetni.
Definíció Legyen véges mérték -en. Ekkor karakterisztikus függvénye egy
komplex értékű függvény:
Ha , akkor ugyanez a definíció érvényes. Ha valószínűségi változó, és eloszlása , akkor karakterisztikus függvénye .
Speciális esetek: Ha -nek van sűrűségfüggvénye a Riemann-integrál szerint és sűrűségfüggvénye , akkor . Ha -nek van valószínűségi függvénye, és valószínűségi függvénye , akkor .
Elemi példák Ha Poisson-eloszlású, akkor valószínűségi függvénye .
A valószínűségi függvényt használó kifejezéssel
Ha paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó, valószínűségi függvénye
Ezzel
További példák majd táblázatban lesznek megadva. Tulajdonságai thumb|300px|jobbra|Egy (–1,1) szakaszon folytonos egyenletes eloszlású valószínűségi változó karakterisztikus függvénye a sinc függvény. Mivel ez az eloszlás szimmetrikus, azért karakterisztikus függvénye valós értékű. Nem szimmetrikus eloszlások esetén nem ez a helyzet. Létezés Minden véges mértéknek, így minden valószínűségi mértéknek és eloszlásnak van karakterisztikus függvénye. Az integrál mindig konvergens, mivel . Korlátosság A karakterisztikus függvény mindig korlátos, teljesül, hogy . Szimmetria A karakterisztikus függvény pontosan akkor valós, ha eloszlása szimmetrikus, különben hermitikus, azaz . Folytonosság A karakterisztikus függvények egyenletesen folytonosak. Jellemzése Érdekes kérdés, hogy mely függvények lehetnek karakterisztikus függvények. Pólya tétele elégséges kritériumokat ad: Legyen az függvény olyan, hogy:
konvex az félegyenesen, továbbá folytonos páros függvény,
Ekkor van valószínűségi mérték, aminek karakterisztikus függvénye.
Szükséges és elégséges kritériumot Bochner tétele ad: Egy folytonos : függvény akkor és csak akkor karakterisztikus függvény, ha pozitív szemidefinit és .
Kapcsolatok más függvényekkel Lineáris transzformáció minden valós számra. Sűrűségfüggvény Ha integrálható, akkor sűrűségfüggvénye rekonstruálható, mint
Momentumok minden természetes számra, ha . Speciálisan
Ha egy esetén az várható érték véges, akkor -szer folytonosan differenciálható, és körül Taylor-sorba fehthető:
Speciálisan, ha és :
Sűrűségfüggvények konvolúciója Ha és független valószínűségi változók, akkor karakterisztikus függvénye
mivel a függetlenség miatt
Ugyanolyan eloszlású, független valószínűségi változók Legyenek független valószínűségi változók ugyanabból az eloszlásból, és szintén valószínűségi változó, aminek értékei -ból kerülnek ki, és minden -től független, ekkor
az valószínűséggeneráló függvényéből és karakterisztikus függvényéből számítható: .
Egyértelműség Ha , valószínűségi változók, és minden -re, akkor , azaz és ugyanolyan eloszlású. Ezzel egyes eloszlások konvolúciója könnyebben meghatározható.
Ebből lehet következtetni Lévy folytonossági tételére: Az valószínűségi változók sorozata pontosan akkor konvergens eloszlásban, ha minden esetén. Ezt a centrális határeloszlás tételéhez lehet felhasználni. Példák Eloszlás karakterisztikus függvény Diszkrét eloszlások Binomiális eloszlás Poisson-eloszlás Negatív binomiális eloszlás Abszolút folytonos eloszlások Standard normális eloszlás Normális eloszlás Folytonos egyenletes eloszlás Standard Cauchy-eloszlás Gamma-eloszlás Általánosabb definíciók Valószínűségi vektorváltozók Valószínűségi vektorváltozókra is definiálható a karakterisztikus függvény. Legyen dimenziós valószínűségi vektorváltozó. Ekkor
az karakterisztikus függvénye, ahol a skaláris szorzás. Tetszőleges mértékek Tetszőleges mértékek esetén kompakt tartójú, korlátos, mérhető, valós értékű függvényekre értelmezhető a karakterisztikus függvény, mint
ahol a mérték. A mérték egyértelmű, az összes ilyen függvény karakterisztikus függvénye meghatározza. Kapcsolat más generátorfüggvényekkel A valószínűségszámítás további fontos generátorfüggvényei a valószínűséggeneráló függvény és a momentumgeneráló függvény.
Egy értékű valószínűségi változó karakterisztikus függvénye . Emiatt .
Egy valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye . Eszerint, ha létezik a momentumgeneráló függvény, akkor . A karakterisztikus függvénnyel szemben ez nem mindig teljesül.
A kumulánsgeneráló függvény a momentumgeneráló függvény logaritmusa. Belőle származtatják a kumulánsokat. Források Eugen Lukacs: Characteristic functions. Griffin, London 1960 (2., erweiterte Auflage 1970), Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2008, Fordítás
Kategória:Valószínűségszámítás