A matematika, azon belül a gráfelmélet területén egy gráf klikkszélessége (clique-width) a gráf szerkezetének bonyolultságát leíró paraméter; közeli rokona a faszélességnek, de attól eltérő módon, sűrű gráfokon is korlátos lehet az értéke. A definíció szerint értéke megegyezik a gráf konstruálásához szükséges címkék minimális számával, ha a következő négy művelet engedélyezett:

Felveszünk egy új csúcsot, v-t és i címkével látjuk el (jelölés: i(v) vagy ) Két címkézett gráf, G és H diszjunkt unióját képezzük (jelölés: ) Minden i-vel jelölt csúcsot összekötünk minden j-vel jelölt csúccsal (jelölés: η(i,j)), ahol Átnevezzük az i címkét j-re (jelölés: ρ(i,j) )

A korlátos klikkszélességű gráfok közé tartoznak a kográfok és a távolság-örökletes gráfok is. Bár általános esetben a klikkszélesség meghatározása NP-nehéz feladat, és nem tudjuk, vajon polinom időben kiszámítható-e abban az esetben, ha korlátos, ismert több hatékony közelítő algoritmus a klikkszélesség kiszámítására. Ezekre az algoritmusokra és a Courcelle-tételre alapozva számos, általános gráfokon NP-nehéz gráfoptimalizálási probléma gyorsan megoldható vagy közelíthető a korlátos klikkszélességű gráfokon.

A klikkszélesség fogalmához szükséges konstrukciós lépéseket Courcelle, Engelfriet és Rozenberg fogalmazta meg 1990-ben , majd . A „klikkszélesség” kifejezést először használta egy másik fogalom leírására, de 1993-ra már a jelenlegi értelemben használták.

Példa

A 6 csúcsból álló gráf klikkszélessége nem nagyobb 3-nál, mivel a következő műveletek segítségével előállítható: Klikkszélesség-művelet A gráf vizualizációja

Az előállított -művelet a következő:

A jobb oldalon látható az 3-kifejezés fája.

Speciális gráfosztályok A kográfok megegyeznek azokkal a gráfokkal, melyek klikkszélessége legfeljebb 2. A távolság-örökletes gráfok klikkszélessége legfeljebb 3. Az egység-intervallumgráfok klikkszélessége azonban (rácsos szerkezetük miatt) korlátlan. Hasonlóan, a páros permutációgráfok klikkszélessége (hasonlóan a rácsos szerkezet miatt) korlátlan. A kográfok egyik karakterizálása szerint ezek a gráfok, melyeknek nincs négy csúcsból álló húrmentes úttal izomorf feszített részgráfja. Ebből kiindulva számos, tiltott feszített részgráfok alapján meghatározott gráfcsalád klikkszélességét sikerült megállapítani.; .

A korlátos klikkszélességű gráfok közé tartoznak még a -adik levélhatványok is a korlátos értékeire; ezek a gráfhatvány levelei által kifeszített részgráfjai. A nem korlátos kitevőjű levélhatványok esetében azonban a klikkszélesség sem korlátos.; .

Korlátok és egyes gráfok klikkszélességével kapcsolatban a következőket igazolták: Ha egy gráf klikkszélessége legfeljebb , akkor ez igaz a gráf minden feszített részgráfjára is., Corollary 3.3. Egy klikkszélességű gráf komplementerének klikkszélessége legfeljebb ., Theorem 4.1. A faszélességű gráfok klikkszélessége legfeljebb . A korlátban szereplő exponenciális tag szükséges: ténylegesen léteznek olyan gráfok, melyek klikkszélessége exponenciálisan nagyobb a faszélességüknél., megerősítve , Theorem 5.5-jét. Megfordítva, a korlátos klikkszélességű gráfok rendelkezhetnek korlátlan faszélességgel; például az csúcsú teljes gráfok klikkszélessége 2, míg faszélességük . Azoknak a klikkszélességű gráfoknak viszont, melyek nem tartalmazzák a teljes páros gráfot részgráfként, legfeljebb lehet a faszélességük. Így aztán, tetszőleges ritka gráfcsaládra igaz, hogy a korlátos faszélesség ekvivalens a korlátos klikkszélességgel. Egy további gráfparamétert, a rangszélességet (rank-width) mindkét irányból korlátok közé szorít a klikkszélesség: rangszélesség ≤ klikkszélesség ≤ 2rangszélesség + 1.

Igaz továbbá, hogy ha a gráf klikkszélessége , akkor a gráfhatvány klikkszélessége legfeljebb . Bár mind a klikkszélesség a faszélesség szerinti korlátjában, mind klikkszélesség gráfhatvány szerinti korlátjában exponenciális rés szerepel, ezeknek a korlátok nem szorzódnak össze: ha a gráf faszélessége , akkor klikkszélessége legfeljebb , ami a faszélességnek csak egyszeresen exponenciális függvénye.

Számítási bonyolultság

Számos, általánosabb gráfosztályokon NP-nehéz optimalizálási probléma korlátos klikkszélességű gráfokon dinamikus programozás segítségével hatékonyan megoldható, ha ezen gráfok konstrukciós lépései ismertek. Közelebbről, minden gráftulajdonság, aminek létezése kifejezhető a gráftulajdonságokat logikai műveletekkel, kvantorokkal stb. leíró MSO1 monadikus másodrendű logika segítségével, a Courcelle-tétel egy változata alapján lineáris idejű algoritmussal eldönthető.

Polinom időben lehetséges továbbá a korlátos klikkszélességű gráfok optimális gráfszínezését és Hamilton-körét megtalálni, ha a konstrukciós lépések ismertek, de a polinom kitevője a klikkszélességgel növekszik, és a számítási bonyolultságelmélet bizonyítékai arra mutatnak, hogy ettől a függőségtől valószínűleg nem lehet eltekinteni. A korlátos klikkszélességű gráfok -korlátosak, vagyis kromatikus számuk legfeljebb a legnagyobb klikk méretének függvénye lehet.

A három klikkszélességű gráfok polinom időben felismerhetők, és konstrukciós lépéseik is előállíthatók egy splitfelbontás-alapú algoritmussal. A nem korlátos klikkszélességű gráfok esetén NP-nehéz a klikkszélesség pontos megállapítása, ahogy a szublineáris additív hibával történő approximációja is. Ha azonban a klikkszélesség korlátos, egy korlátos szélességű (exponenciálisan nagyobb mint a tényleges klikkszélesség) konstrukciós lépéssorozat polinom időben előállítható.; ; . Nyitott egyelőre az a kérdés, hogy a pontos klikkszélesség, vagy akár egy pontosabb approximációja kiszámítható-e rögzített paraméter mellett kezelhető időben, polinom időben kiszámítható-e minden rögzített klikkszélesség-korlát esetén, vagy akár a négy klikkszélességű gráfok felismerhetők-e a polinom időben.

Faszélességgel való kapcsolata A korlátos klikkszélességű gráfok elmélete hasonlít a korlátos faszélességű gráfokéhoz, de azoktól eltérően sűrű gráfokkal is foglalkozik. Ha egy gráfcsalád klikkszélessége korlátos, akkor vagy a faszélessége is korlátos, vagy minden teljes páros gráf a család valamely tagjának részgráfja. A faszélesség és a klikkszélesség az élgráfokon keresztül is összekapcsolódik: egy gráfcsalád pontosan akkor korlátos faszélességű, ha élgráfjaiknak klikkszélessége korlátos.

Fordítás

Jegyzetek

. . . . . . . . . Presented in preliminary form in Graph grammars and their application to computer science (Bremen, 1990), . . . .

. . . . . . . . . . .

Kategória:Gráfinvariánsok