A harmonikus analízis a matematikának egy olyan ága, amely egy függvény és annak frekvenciában való megjelenítése közötti összefüggések vizsgálatával, egyszerű függvények szuperpozíciójával történő előállíthatóságának kérdéseivel foglalkozik. A matematikának e területe a francia matematikus és fizikus, Jean-Baptiste Joseph Fourier által bizonyos fizikai jelenségek értelmezése során vizsgált trigonometrikus sorokkalA matematikában a 'trigonometrikus sorozat' egy végtelen sorozat
alakú trigonometrikus polinom végtelen változata. kapcsolatosan alakult ki. A huszadik század elején Riesz Frigyes, Fejér Lipót és Haar Alfréd magyar matematikusokat is foglalkoztatta a téma kutatása. A frekvencia-reprezentációt a Fourier-transzformáció segítségével találjuk meg a korlátlan tartományokon, például a teljes valós számegyenesen, vagy a Fourier-sorozatok segítségével a korlátos tartományokon, különösen a véges intervallumokon elhelyezkedő periodikus függvényekA periodikus függvény olyan függvény, amely szabályos időközönként megismétli az értékeit. Például a trigonometrikus függvények, amelyek Radián időközönként ismétlődnek, periodikus függvények. A periódusos függvényeket az egész tudományban használják az oszcillációk, hullámok és egyéb periodicitást mutató jelenségek leírására. esetében. Ezen transzformációk más tartományokra való általánosítását általában Fourier-analízisnek nevezik, bár ezt a kifejezést néha felcserélhetően használják a harmonikus analízissel. A harmonikus analízis hatalmas témává vált, és olyan változatos területeken alkalmazzák, mint a számelmélet, az ábrázoláselméletAz ábrázoláselmélet a matematikának egy olyan ága, amely az absztrakt algebrai struktúrákat tanulmányozza úgy, hogy elemeiket vektorterek lineáris transzformációjaként ábrázolja, és modulusokat vizsgál ezeken az absztrakt algebrai struktúrákon., a jelfeldolgozás, a kvantummechanika, az árapályelemzés és az idegtudomány.
A "harmónia" kifejezés az ógörög harmonikos szóból származik, ami azt jelenti, hogy "zenében jártas"."harmonic". Online Etymology Dictionary. A fizikai sajátérték-problémákban olyan hullámokat kezdett jelenteni, amelyek frekvenciái egymás egész számú többszörösei, akárcsak a hangjegyek harmonikusainak frekvenciái, de a kifejezést az eredeti jelentésén túl általánosították.
Klasszikus harmonikus analízis Történelmileg a harmonikus függvények a Laplace-egyenlet megoldásai voltak,https://www.math.ru.nl/~burtscher/lecturenotes/2021PDEnotes.pdf ezt a fogalmat először speciális függvényekre,A speciális függvények olyan különleges matematikai függvények, amelyeknek a matematikai analízisben, funkcionálanalízisben, geometriában, fizikában vagy más alkalmazásokban betöltött jelentőségük miatt többé-kevésbé bevett nevük és jelölésük van. majd általános elliptikus operátorokraA parciális differenciálegyenletek elméletében az elliptikus operátorok olyan differenciáloperátorok, amelyek általánosítják a Laplace-operátort.Lásd még Atiyah-Singer index-tétel terjesztették ki, napjainkban pedig a harmonikus függvényeket a periodikus függvények általánosításának tekintik a sokaságon meghatározott függvénytereken, például általános, nem feltétlenül elliptikus parciális differenciálegyenletekA másodrendű lineáris parciális differenciálegyenleteket elliptikus, hiperbolikus vagy parabolikus egyenletekbe sorolják. megoldásaként, beleértve bizonyos peremfeltételeket, amelyek szimmetriát vagy periodicitástA periodicitás, ciklus vagy ismétlődés általában egy dolog vagy folyamat azon tulajdonságára utal, amely egy adott esemény bekövetkezése tekintetében rendszerességet mutat. eredményezhetnek.https://www.math.ucla.edu/~tao/247a.1.06f/notes0.pdf
Fourier-analízis A klasszikus Fourier-transzformáció az Rn-n még mindig folyamatban lévő kutatási terület, különös tekintettel az általánosabb objektumok Fourier-transzformációjára, mint például a temperált eloszlásokra. Például, ha bizonyos követelményeket támasztunk egy f eloszlásra, megpróbálhatjuk ezeket a követelményeket lefordítani f Fourier-transzformációjával. A Paley–Wiener-tétel egy példa erre. A Paley–Wiener-tételA matematikában a Paley–Wiener-tétel bármely olyan tétel, amely összefüggésbe hozza egy függvény vagy eloszlás végtelenben lévő bomlási tulajdonságait a Fourier-transzformációjának analitikusságával. A tétel Raymond Paley (1907–1933) és Norbert Wiener (1894–1964) nevét viseli. azonnal azt jelenti, hogy ha f a kompakt támogatás nullától eltérő eloszlása (ezek közé tartoznak a kompakt támogatásAz Topologikus téren kompakt támogatású függvények azok, amelyek zárt támogatása kompakt részhalmaza. . Ha a valós egyenes vagy -dimenziós euklideszi tér, akkor egy függvénynek akkor és csak akkor van kompakt támogatása, ha korlátos, mivel az részhalmaza kompakt, ha és csak akkor, ha zárt és korlátos. függvényei), akkor a Fourier-transzformációja soha nem támogatott kompaktan (vagyis ha egy jel korlátozott az egyik tartományban, akkor korlátlan a másikban). Ez a bizonytalansági elv nagyon elemi formája harmonikus elemzési környezetben. A Fourier-sorok kényelmesen tanulmányozhatók a Hilbert-terek kontextusában, amely kapcsolatot teremt a harmonikus analízis és a funkcionálanalízis között. A Fourier-transzformációnak négy változata létezik, a transzformáció által leképezett terektől függően: diszkrét/periodikus-diszkrét/periodikus: diszkrét Fourier transzformációA matematikában a diszkrét Fourier-transzformáció egy függvény egyenlő távolságú mintáinak véges sorozatát alakítja át a diszkrét idejű Fourier-transzformáció egyenlő távolságú mintáinak azonos hosszúságú sorozatává, amely a frekvencia komplex értékű függvénye., folyamatos/periodikus-diszkrét/periodikus: Fourier-sor, diszkrét/periodikus-folyamatos/periodikus: diszkrét idejű Fourier-transzformációA matematikában a diszkrét idejű Fourier-transzformáció, amelyet véges Fourier-transzformációnak is neveznek, a Fourier-analízis egyik formája, amely értéksorozatra alkalmazható., folytonos/periodikus–folyamatos/periodikus: Fourier-transzformáció.
Absztrakt harmonikus analízis Az absztrakt harmonikus analízis elsősorban azzal foglalkozik, hogy a valós vagy komplex értékű függvények (gyakran nagyon általános tartományokon) hogyan tanulmányozhatók szimmetriák, például transzlációk vagy rotációk segítségével (például a Fourier-transzformáción és rokonain keresztül); ez a terület természetesen rokon a valós változós harmonikus analízissel, de szellemiségében talán közelebb áll az ábrázoláselmélethezA reprezentációelmélet a matematikának egy olyan ága, amely absztrakt algebrai struktúrákat tanulmányoz úgy, hogy azok elemeit vektortér lineáris transzformációiként ábrázolja, és modulusokat vizsgál ezen absztrakt algebrai struktúrák felett. és a funkcionálanalízishez.
A harmonikus analízis egyik legmodernebb ága, melynek gyökerei a XX. század közepére nyúlnak vissza, a topológiai csoportokA topológiai csoportok logikailag csoportok és topológiai terek kombinációja, azaz egyszerre csoportok és topológiai terek, így a csoportműveletek folytonossági feltétele összekapcsolja ezt a két struktúrát, következésképpen nem függetlenek egymástól. analíziséhez. Az alapvető motivációs ötletek a különféle Fourier-transzformációk, amelyek általánosíthatók Hausdorff lokálisan kompakt topológiai csoportokon meghatározott függvények transzformációjára.
Az abeli lokálisan kompaktA matematikában a lokálisan kompakt csoport egy G topológiai csoport, amelynél az alapul szolgáló topológia lokálisan kompakt és Hausdorff. A lokálisan kompakt csoportok azért fontosak, mert a matematikában előforduló csoportok sok példája lokálisan kompakt, és ezeknek a csoportoknak van egy természetes mértéke, amelyet Haar-mértéknek neveznek. Ez lehetővé teszi a Borel-mérték függvény integrálok meghatározását G-n, így általánosíthatóak a szabványos elemzési fogalmak, mint például a Fourier-transzformáció és az terek. csoportokra vonatkozó elméletet PontrjaginLev Szemjonovics Pontrjagin (1908. szeptember 3. - 1988. május 3.) szovjet matematikus. A Fourier-transzformációk absztrakt elméletével foglalkozott, valamint bevezette a Pontrjagin osztályok fogalmát a topológiában. kettősségnek nevezik.A matematikában a Pontryagin-dualitás a lokálisan kompakt Abel-csoportok kettőssége, amely lehetővé teszi a Fourier-transzformáció általánosítását az összes ilyen csoportra, beleértve a körcsoportot (egy modulusú komplex számok multiplikatív csoportja), a véges Abel-csoportokat (diszkrét topológiával), és az egész számok additív csoportja (szintén diszkrét topológiával), a valós számok és minden véges dimenziós vektortér a valós értékek vagy egy -adikus mező felett.
A harmonikus analízis ennek a kettősségnek és a Fourier-transzformációnak a tulajdonságait vizsgálja, és megpróbálja kiterjeszteni ezeket a jellemzőket különböző beállításokra, például a nem Abel-féle Lie-csoportok esetére.
Az általános nem-abeli lokálisan kompakt csoportok esetében a harmonikus elemzés szorosan kapcsolódik az egységes csoportreprezentációk elméletéhez. Kompakt csoportokA matematikában a kompakt (topológiai) csoport olyan topológiai csoport, amelynek a topológiája kompakt topológiai térként valósítja meg. esetében a Peter–Weyl-tételA Peter–Weyl tétel a harmonikus analízis elméletének alapvetõ eredménye, amely kompakt, de nem feltétlenül Abel-féle topológiai csoportokra vonatkozik. Eredetileg Hermann Weyl és tanítványa, Fritz Peter bizonyította be egy kompakt G topológiai csoport beállításában (Peter & Weyl 1927). megmagyarázza, hogyan kaphatunk harmonikusokat, ha minden reprezentáció ekvivalenciaosztályából választunk egy irreducibilis reprezentációt.A matematikában, különösen a csoportok és algebrák reprezentációelméletében, egy algebrai struktúra irreducibilis reprezentációja vagy irrepje egy nem nulla reprezentáció, amelynek nincs megfelelő nemtriviális részreprezentációja , ahol részhalmaz zárva van a csoporthatásra. A felharmonikusoknak ez a megválasztása élvezi a klasszikus Fourier-transzformáció néhány hasznos tulajdonságát a konvolúciók pontszerű szorzatokba való átvitelében, vagy más módon az alapul szolgáló csoportstruktúra bizonyos megértésében. Lásd még: Nem kommutatív harmonikus elemzés.A matematikában a nem kommutatív harmonikus elemzés az a terület, ahol a Fourier-analízis eredményeit kiterjesztik a nem kommutatív topológiai csoportokra.
Ha a csoport sem nem Abel-féle, sem nem kompakt, akkor jelenleg nem ismert általános kielégítő elmélet (a „kielégítő” legalább olyan erős, mint a Plancherel-tételA Plancherel-tétel (néha Parseval–Plancherel azonosságnak nevezik) a harmonikus analízis eredménye, amelyet Michel Plancherel 1910-ben bizonyított. Kimondja, hogy egy függvény négyzetes modulusának integrálja egyenlő a frekvenciaspektruma négyzetes modulusának integráljával.). Sok konkrét esetet azonban elemeztek, például az SLn-t. Ebben az esetben a végtelen dimenziójú reprezentációkA reprezentációelmélet matematikai területén a csoportreprezentációk absztrakt csoportokat írnak le a vektortér önmaga bijektív lineáris transzformációi (vagyis vektortér automorfizmusok) szempontjából; különösen használhatók csoportelemek invertálható mátrixként való ábrázolására, így a csoportművelet mátrixszorzással ábrázolható. döntő szerepet játszanak.
Alkalmazott harmonikus analízis
A harmonikus analízis számos tudományos és mérnöki alkalmazása abból az elképzelésből vagy hipotézisből indul ki, hogy egy jelenség vagy jel egyedi oszcillációs komponensek összegéből áll. Az óceán árapálya és a vibráló húrok gyakori és egyszerű példák. Az elméleti megközelítés gyakran az, hogy a rendszert differenciálegyenlettel vagy egyenletrendszerrel próbálják leírni, hogy megjósolják a lényeges jellemzőket, beleértve az oszcilláló komponensek amplitúdóját, frekvenciáját és fázisait. A konkrét egyenletek a területtől függenek, de az elméletek általában olyan egyenleteket próbálnak kiválasztani, amelyek az alkalmazható fő elveket képviselik.