A szabályos négymilliárd-kétszázkilencvennégymillió-kilencszázhatvanhétezer-kétszázkilencvenötszög (más néven -szög) az eddig ismert legnagyobb páratlan számú oldallal rendelkező olyan sokszög, mely megszerkeszthető euklideszi szerkesztéssel.

A legkisebb lehetséges következő Fermat-prím a , mely mintegy 9,63 – az ennél kisebb, de -nél nagyobb Fermat-számok mindegyikéről ismert, hogy összetett.

Gauss és Wantzel eredményei Már az ókorban ismert volt, hogy a szabályos három-, négy- és ötszögek körzővel és vonalzóval segédeszköz nélkül szerkeszthetők. 1796-ban az akkor 19 éves Carl Friedrich Gauss bebizonyította ugyanezt a szabályos tizenhétszögre is. Néhány évvel később Disquisitiones Arithmeticae című írásában bebizonyította, hogy egy szabályos sokszög pontosan akkor szerkeszthető így, ha oldalai száma 2 egy hatványának és egymástól különböző Fermat-prímek ( alakú prímek) szorzata. Ezt 1837-ben Pierre Wantzel, francia matematikus egészítette ki.

2025-ben az ismert Fermat-prímek közé csak a 3, az 5, a 17, a 257 és a tartoznak. Az ezeket tartalmazó halmaznak 31 nem üres részhalmaza van, tehát 31 páratlan oldalszámú szabályos sokszög szerkeszthető euklideszi szerkesztéssel. Az egymástól különböző Fermat-prímek szorzásával képezhető legnagyobb szám , ezért a legnagyobb páratlan oldalszám a . Hogy vannak-e további euklideszi szerkesztéssel szerkeszthető páratlan oldalszámú szabályos sokszögek, attól függ, van-e nagyobb Fermat-prím – ez megoldatlan matematikai kérdés.

Amellett, hogy a a legnagyobb ismert páratlan , melyre teljesül, hogy a szabályos -szög euklideszi szerkesztéssel előállítható, mivel a szerkeszthetőség a prímtényezős felbontással összefügg, azon páratlan -ek sorozata, melyre teljesül, hogy a szabályos -szög megszerkeszthető euklideszi szerkesztéssel, annak osztóival indul. Ha nincs további Fermat-prím, a két sorozat azonos. Ha tehát a a legnagyobb Fermat-prím, egy páratlan oldalszámú szabályos sokszög pontosan akkor szerkeszthető euklideszi szerkesztéssel, ha 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, , , , , , , , , , , , , , , , , , vagy oldalú.

Páros oldalszámú szabályos sokszögek esetén nem határozható meg legnagyobb oldalszám, mert a Gauss-képlet alapján ha a szabályos -szög megszerkeszthető, akkor megszerkeszthető a szabályos -szög is, ezért végtelen mennyiségű páros oldalszámú szabályos sokszög szerkeszthető. Matematikai összefüggések A négymilliárd-kétszázkilencvennégymillió-kilencszázhatvanhétezer-kétszázkilencvenötszög oldalhossza , ahol R a körülírt kör sugara, vagyis például 1000 km sugarú körbe írt négymilliárd-kétszázkilencvennégymillió-kilencszázhatvanhétezer-kétszázkilencvenötszög oldalai hossza 1,46 mm. Belső szöge , ennek megfelelően középponti szöge .

Kerülete a körülírt körétől a sugár mintegy -szeresével tér el.

Beírt köre sugara .

Területe , mely a körülírt körétől csak -nel tér el, tehát például az 1000 km sugarú kör területétől az abba írt négymilliárd-kétszázkilencvennégymillió-kilencszázhatvanhétezer-kétszázkilencvenötszögé -rel tér el.

Jegyzetek

Fordítás

További információk

4294967295