A Hahn–Banach-tétel a funkcionálanalízis egyik jelentős tétele, amely lehetővé teszi egy vektortér lineáris alterén értelmezett korlátos lineáris funkcionál kiterjesztését a teljes vektortérre. A tétel továbbá igazolja, hogy egy normával ellátott vagy egy lokálisan konvex vektortéren elegendő folytonos lineáris funkcionál definiálható ahhoz, hogy a duális terét vizsgáljuk.
A Hahn–Banach-féle elválasztási tétel a konvex halmazok geometriájának egyik jelentős tétele. Az elválasztási tételből következik például a (Minkowski–)Ascoli–Mazur- és a Krein–Milman-tétel.
A tétel algebrai alakjai Valós vektorterek esetén Legyen valós vektortér, a vektortér lineáris altere, továbbá legyen szublineáris, pedig lineáris leképezés, melyekre teljesül
Ekkor létezik -nek egy lineáris kiterjesztése, tehát egy , melyre
teljesül.Werner 2018, Satz III.1.2
Komplex vektorterek esetén Amennyiben komplex vektortér, a vektortér altere, szublineáris, pedig lineáris, melyekre teljesül, akkor létezik egy lineáris kiterjesztés, amelyre teljesül.Werner 2018, Satz III.1.4
A kiterjesztési tétel Ebben a tételben a valós () vagy komplex () számtestet jelöli. Normált vektorterekben Legyen normált tér felett, a vektortér egy altere. Bármely folytonos lineáris funkcionálra létezik egy folytonos lineáris funkcionál, melyre a következők teljesülnek:
A kiterjesztési tétel a Hahn–Banach-tétel algebrai alakjának következménye.Werner 2018. Theorem III.1.5 A tételből következik, hogy egy normált vektortér duális teréből (jelölés szerint kinyerhetők információk a vektortérről és annak elemeiről. Például, ha egy fixált -re definiáljuk az folytonos lineáris funkcionált, akkor a kiterjesztési tétel szerint létezik egy folytonos lineáris funkcionál , melynek normája 1 és . Továbbá, ha vektorok nem egyenlőek, akkor létezik egy olyan , melyre , tehát szétválasztja pontjait.Werner 2018, Korollar III.1.6
Lokálisan konvex vektorterekben A normált terekkel ellentétben egy lokálisan konvex vektortér topológiáját nem egy norma indukálja, hanem félnormák családja. Egy lokálisan konvex vektortér duális tere, jelölés szerint azokat a lineáris funkcionálokat tartalmazza, amelyek a félnormák családja által generált topológiában folytonosak.Werner 2018, Definition VIII.2.5
A Hahn–Banach-féle kiterjesztési tétel teljesül lokálisan konvex vektorterekre is: legyen lokálisan konvex vektortér, lineáris altér, és . Akkor létezik -nek egy kiterjesztése -ben.Werner 2018, Satz VIII.2.8
Nem lokálisan konvex vektorterekben A kiterjesztési tétel nem feltétlenül teljesül, ha a topologikus vektortér nem lokálisan konvex. Például, legyen és
.
Ez a halmaz egy teljes, metrizálható topologikus vektorteret alkot, amelyben összesen két nyílt konvex halmaz található: az üres halmaz és a teljes tér (azaz ), tehát ez a vektortér nem lokálisan konvex, továbbá az egyetlen folytonos lineáris funkcionál -n a konstans nullfüggvény.Rudin 1991, §1.47 Mivel Hausdorff-tér, ezért Riesz Frigyes egy tétele szerint bármely véges dimenziós altér lineárisan homeomorf a euklideszi térhez.Rudin 1991, 7–18.o. Ebből következik, hogy bármely -en definiált nemnulla lineáris funkcionál folytonos, azonban egyiknek sincs egy folytonos lineáris kiterjesztése -re.
A tétel geometriai alakjai
A Hahn–Banach tétel algebrai alakjaiból levezethetőek tételek, amelyeket kollektíven elválasztási tételeknek hívunk. Ezek a tételek azt a konvex geometriai tételt általánosítják, amely kimondja, hogy két diszjunkt nemüres konvex részhalmaza mindig elválasztható egy affin hipersíkkal, amely az szinthalmazzal leírható, ahol egy nemnulla lineáris funkcionál, pedig egy szám.
Az elválasztási probléma a következőképp fejezhető ki: legyen topologikus vektortér felett. Létezik-e bármely nemüres diszjunkt konvex halmazra egy lineáris funkcionál, melyre esetén
esetén pedig
teljesül?Werner 2018, 113–114.o.
Egy nyílt és egy tetszőleges konvex részhalmaz elválasztása
Legyen lokálisan konvex vektortér, konvex, pedig nyílt. Ha , akkor létezik egy , melyre teljesülWerner 2018, Theorem VIII.2.11
Ez a tétel teljesül tetszőleges topologikus vektorterekre is, azonban előfordulhat, hogy a triviális részhalmaz.
Zárt konvex részhalmaz és egy pont elválasztása Legyen lokálisan konvex vektortér, zárt és konvex, továbbá legyen . Ekkor létezik egy és egy , melyekre
teljesül. Továbbá, ha bármely -re és bármely egynél nem nagyobb abszolút értékű -re teljesül, akkor létezik egy és egy , melyekre
teljesül.Werner 2018, Theorem VIII.2.12 Mivel az egypontú halmaz konvex és zárt, ezért elmondható, hogy egy lokálisan konvex Hausdorff térben bármely -ra létezik egy , melyre .Werner 2018, Korollar VIII.2.13 Normált vektorterek esetén ez az eredmény a kiterjesztési tételből következik.
Az Ascoli–Mazur-tétel Legyen topologikus vektortér, lineáris altér, nemüres nyílt konvex halmaz, melyre teljesül. Akkor létezik egy zárt hipersík amely tartalmazza -et, azonban nincs közös pontja -val.
Ebből a tételből következik, hogy ha továbbá lokálisan konvex, akkor létezik egy , melyre bármely -re, és bármely -ra.
Jegyzetek
Fordítás
Források
Kategória:Funkcionálanalízis Kategória:Lineáris algebra Kategória:Matematikai tételek