In matematica, un campo è una struttura algebrica composta da un insieme non vuoto e da due operazioni binarie interne (chiamate somma e prodotto e indicate di solito rispettivamente con e ) che godono di proprietà assimilabili a quelle verificate da somma e prodotto sui numeri razionali o reali o anche complessi.

Il campo è una struttura algebrica basilare in matematica, necessaria per lo studio approfondito dei polinomi e delle loro radici, e per la definizione degli spazi vettoriali. Nel contesto degli spazi vettoriali un elemento di un campo è detto scalare.

Storia Storicamente le tre discipline algebriche che hanno portato al concetto di campo sono il problema della risoluzione delle equazioni polinomiali, la teoria algebrica dei numeri e la geometria algebrica. Un primo contributo alla nozione di campo fu apportato nel 1770 da Joseph-Louis Lagrange nei suoi studi sulla risoluzione delle equazioni polinomiali riuscendo di fatto a collegare i concetti di campo e gruppo algebrico. Nel 1832 Évariste Galois ideò i criteri necessari e sufficienti affinché un'equazione polinomiale fosse risolvibile algebricamente, dando così origine alla teoria di Galois, che pur senza averne concepito una nozione esplicita, fece ampio uso dei concetti di campo e gruppo. Nel 1871 Richard Dedekind introdusse con il termine "campo" un insieme di numeri reali o complessi chiuso sotto le quattro operazioni aritmetiche. Il concetto fu poi ripreso nel 1881 da Leopold Kronecker che definì il campo di frazioni razionali come "dominio di razionalità".

La prima nozione formale di campo fu elaborata da 1893 da Heinrich Martin Weber e da questa iniziò quindi svilupparsi nei primi anni del XX secolo la teoria dei campi grazie ai lavori di Giuseppe Veronese, Kurt Hensel ed Ernst Steinitz. La teoria di Galois tra il 1928 e il 1942 da Emil Artin che eliminò la dipendenza della teoria dal teorema dell'elemento primitivo.

Definizione formale L'insieme non vuoto dotato di due operazioni binarie e è un campo se valgono le seguenti proprietà:.

insieme all'operazione è un gruppo abeliano con elemento neutro :

per ogni esiste tale che insieme all'operazione è un gruppo abeliano con elemento neutro :

per ogni esiste tale che La moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione:

(le relazioni devono valere per ogni , e in )

Ciascuna delle seguenti definizioni di campo è equivalente a quella data: un anello commutativo con unità in cui ogni elemento non nullo ha un inverso; un corpo commutativo rispetto alla moltiplicazione.

Il gruppo moltiplicativo meno l'elemento è solitamente indicato con .

Esempi Campi L'insieme dei numeri razionali , con le operazioni di addizione e moltiplicazione usuali tra numeri è un campo. L'insieme dei numeri reali , con le operazioni di addizione e moltiplicazione tra numeri reali è un campo. L'insieme dei numeri complessi , con l'appropriata estensione delle operazioni di addizione e moltiplicazione è un campo. I numeri algebrici formano un campo. I numeri surreali e i numeri p-adici formano dei campi. L'insieme delle classi di resto modulo con le usuali operazioni di somma e prodotto forma un campo se e solo se è un numero primo.

Anelli che non sono campi L'esempio più importante è l'insieme dei numeri interi: non è un campo perché i soli elementi ad avere un inverso moltiplicativo sono e . Il prodotto di anelli è un anello, ma il prodotto di campi non è un campo. Quindi ad esempio è un anello ma non un campo: l'elemento non ha un inverso. Ogni dominio d'integrità finito è un campo.

D'altra parte, ogni dominio d'integrità è contenuto in un campo, detto campo quoziente, che è il "più piccolo" campo fra quelli contenenti . Il campo quoziente di è .

Corpi che non sono campi I quaternioni non formano un campo, perché l'operazione di moltiplicazione non è commutativa.

Relazione con altre strutture algebriche Anelli

Come notato precedentemente, i campi sono dei particolari anelli, anche se la maggior parte degli strumenti impiegati nello studio di questi ultimi non permette di dare molte informazioni sui campi. Gli unici ideali di un campo , ad esempio, sono stesso e l'ideale nullo : questo implica che ogni omomorfismo non nullo a valori in un campo ha un nucleo banale, ed è quindi iniettivo, ovvero è un'estensione di campi.

Un campo è anche un dominio d'integrità e un particolare dominio euclideo con la valutazione per ogni elemento e, di conseguenza, è anche un dominio a fattorizzazione unica. Questo tuttavia non porta a risultati interessanti, perché ogni elemento non nullo, essendo invertibile, ha una fattorizzazione "vuota" (ovvero costituita solo da un'unità).

Come sugli anelli, sui campi è possibile definire dei polinomi: l'anello così risultante è un dominio euclideo (con la valutazione data dal grado del polinomio) e in particolare un anello ad ideali principali: questa proprietà permette di definire il concetto di polinomio minimo di un elemento algebrico su .

Caratteristica

Un'altra proprietà degli anelli che si trasferisce sui campi è la caratteristica, definita come il minimo intero tale che:.

è uguale a zero. Se questo minimo non esiste, cioè se è sempre diverso da zero, la caratteristica è per definizione. Essendo i campi dei domini d'integrità, la loro caratteristica è oppure un numero primo . La caratteristica di determina univocamente il suo sottocampo fondamentale: se è sono i numeri razionali, mentre se è è il campo finito con elementi, ovvero l'anello quoziente (denotato con o ). Tutti i campi finiti hanno caratteristica positiva, mentre il viceversa non è vero: un esempio è il campo delle funzioni razionali su un campo finito.

Gruppi

Dalla definizione di campo segue immediatamente che e , quest'ultimo spesso denotato con sono gruppi abeliani. Come conseguenza del fatto che un polinomio di grado non può avere più di radici, ogni sottogruppo finito di (e quindi, in particolare, ogni gruppo moltiplicativo di un campo finito) è ciclico; questo non avviene mai invece per il gruppo additivo, ad eccezione dei campi con elementi.

Spazi vettoriali

I campi sono fondamentali nella definizione degli spazi vettoriali; gran parte delle proprietà di questi ultimi (esistenza di una base, dimensione, sottospazi) non dipendono dal particolare campo impiegato. Analogamente, si possono definire spazi affini e spazi proiettivi su campi qualsiasi. La possibilità di definire un prodotto scalare (e quindi una struttura di spazio euclideo) dipende invece dal campo scelto, in quanto si basa sulla possibilità di definire una relazione d'ordine sul campo.

Legato al campo base dello spazio vettoriale è la possibilità di diagonalizzare gli operatori lineari, in quanto legata alla presenza di radici del polinomio caratteristico.

Sottocampi e estensione di campi

Un sottoinsieme di un campo chiuso rispetto alla somma e al prodotto e contenente gli inversi e gli opposti di tutti i propri elementi forma esso stesso un campo, ed è detto sottocampo di . Ad esempio i numeri razionali formano un sottocampo dei numeri reali, che a loro volta sono un sottocampo dei numeri complessi.

Rovesciando la prospettiva, un campo che contiene come sottocampo è unestensione o un ampliamento di quest'ultimo. Poiché inoltre ogni omomorfismo di campi è iniettivo (cioè è un'immersione), si può considerare un campo come un'estensione di anche nel caso in cui esista un'immersione di in .

Un'estensione di un campo è automaticamente uno spazio vettoriale su , e possiede quindi una sua dimensione: questa è detta grado dell'estensione, ed è indicata come . Un'importante proprietà del grado è la sua moltiplicatività: se e tutti e tre sono campi, allora

Se il grado di su è finito l'estensione è detta finita, mentre infinita in caso contrario.

Se è un'estensione di , e è un sottoinsieme di , si indica con il più piccolo sottocampo di che contiene sia che , ossia la più piccola estensione di che contiene ; particolare importanza hanno le estensioni semplici, ovvero quelle in cui è formato da un solo elemento.

Estensioni algebriche e trascendenti

Un'estensione è detta algebrica se ogni elemento di è radice di un polinomio a coefficienti in , e trascendente altrimenti. Ad esempio l'estensione di in è algebrica, mentre quella di in è trascendente.

Le estensioni semplici possono essere classificate immediatamente come algebriche o trascendenti a partire dal loro grado: se questo è finito l'estensione è algebrica, mentre se è infinito è trascendente. Nel primo caso, il grado è uguale a quello del polinomio minimo del grado che genera l'ampliamento; un elemento è detto algebrico o trascendente su un campo a seconda che l'estensione sia algebrica o trascendente. Se , gli elementi algebrici e trascendenti sono detti generalmente numeri algebrici e numeri trascendenti. Tutte le estensioni finite sono algebriche, mentre il viceversa non è vero: un esempio è l'estensione algebrica

Vale però il seguente risultato: un'estensione è finita se e solo se è algebrica e finitamente generata (cioè generata da un numero finito di elementi).

Per distinguere tra loro le estensioni trascendenti, non potendo usare il grado dell'ampliamento, si usa il grado di trascendenza: questo è definito come il massimo numero di elementi algebricamente indipendenti di su , ossia come il massimo numero per cui esistono elementi di per cui non esiste alcun polinomio ad incognite a coefficienti in annullato da quegli elementi. Un'estensione algebrica ha grado di trascendenza , mentre un'estensione trascendente semplice ha grado di trascendenza .

Costruzione di estensioni algebriche Dato un campo e un polinomio irriducibile a coefficienti in , è sempre possibile trovare un'estensione di in cui il polinomio ha una radice: l'anello quoziente

è infatti un campo, estensione di (l'immersione è quella che associa ad ogni elemento di la classe della sua costante), in cui l'elemento è una soluzione di ; il grado dell'estensione è, inoltre, il grado del polinomio . In tal modo è possibile trovare campi su cui dei polinomi assegnati abbiano una soluzione, o perfino tutte le possibili soluzioni; inoltre tutte le possibili estensioni sono isomorfe tra loro.

Un campo su cui tutti i polinomi abbiano almeno una radice è detto algebricamente chiuso: l'esempio più importante è il campo dei numeri complessi, dove tale asserzione è nota con il nome di teorema fondamentale dell'algebra (sebbene sia sempre dimostrato almeno in parte con metodi analitici); né il campo dei numeri razionali né quello dei numeri reali sono algebricamente chiusi (ad esempio il polinomio non ha radici). Dal lemma di Zorn segue che ogni campo è contenuto in un campo algebricamente chiuso che sia il più piccolo possibile, cioè tale che ogni ampliamento intermedio tra ed esso non sia algebricamente chiuso; questo prende il nome di chiusura algebrica di e, sempre grazie al lemma di Zorn, è possibile dimostrare che è unica a meno di isomorfismi. La chiusura algebrica dei numeri reali è il campo dei numeri complessi, ma questa non è la chiusura algebrica dei razionali, che è invece il campo dei numeri algebrici.

Teoria di Galois

La teoria di Galois studia le estensioni algebriche di un campo attraverso lo studio del gruppo degli automorfismi delle estensioni, ovvero degli isomorfismi di un campo in sé. Questo gruppo (detto gruppo di Galois dell'estensione) può essere spesso calcolato esplicitamente fornendo, attraverso la corrispondenza di Galois, informazioni sul campo stesso.

Isomorfismi e automorfismi