In geometria, dati il numero complesso e il suo corrispondente nel piano cartesiano, il punto , per traslazione di vettore si intende la trasformazione:
che associa al numero complesso il numero complesso .
Proprietà Dalla definizione si deduce che se il punto , di coordinate , rappresenta , allora la sua immagine sarà il punto di coordinate , con , che corrisponde alle equazioni che determinano la traslazione nel piano di vettore ,
Quindi:
sommare a un numero complesso il numero complesso equivale ad applicare una traslazione di vettore al punto di coordinate .
Esempi Esempio 1 La trasformazione
è la traslazione di vettore .
Esempio 2 Per determinare la scrittura complessa della traslazione che porta il punto in è sufficiente osservare che è il punto associato al numero complesso , e che è il punto associato al numero complesso . Poiché sommare ad un numero complesso il numero complesso equivale applicare una traslazione di vettore al punto di coordinate , si ha che da cui si ottiene che .
Quindi
La traslazione richiesta è:
Casi particolari Si consideri il caso in cui . La traslazione di vettore è la trasformazione:
che associa al numero complesso il numero complesso .
È immediato osservare che questa è una traslazione orizzontale, ossia modifica solo la parte reale di , mentre lascia invariata la parte immaginaria.
In modo analogo se . La traslazione di vettore è la trasformazione:
che associa al numero complesso il numero complesso .
È immediato osservare che questa è una traslazione verticale, ossia che modifica solo la parte immaginaria di , mentre lascia invariata la parte reale.
Composizione di traslazioni Date due traslazioni di vettori e , la trasformazione composta
è una traslazione di vettore .
Si osservi che la composizione di traslazioni gode della proprietà commutativa: , poiché è commutativa la somma di vettori .
In particolare una qualsiasi traslazione di vettore è data dalla composizione delle traslazioni e . Infatti, ricordando la somma di numeri complessi si ha che .
Voci correlate Traslazione (geometria) Trasformazione geometrica piana
Categoria:Geometria piana