In matematica, per fattoriale crescente o decrescente di con fattori si intende, rispettivamente un prodotto della forma
( fattori crescenti inizianti da ); ( fattori decrescenti inizianti da ).
Qui denota un intero naturale, mentre può denotare un numero reale o complesso, oppure una variabile formale o anche un elemento generico di un anello (in tal caso gli interi si identificano con i multipli dell'elemento unità dell'anello).
Simboli Utilizzando una delle notazioni utilizzata abbiamo:
fattoriale crescente; fattoriale decrescente.
Esistono anche notazioni alternative da utilizzare con cautela perché diversamente interpretate da diversi autori come la notazione detta simbolo di Pochhammer usata da alcuni per il fattoriale decrescente da altri per quello crescente.
Casi particolari Per fattoriale crescente e fattoriale decrescente danno il prodotto vuoto, cioè
Collegamenti con calcolo combinatorio Nel caso numero intero non negativoIn caso contrario si può usare la funzione gamma che generalizza il fattoriale, con riferimento a simboli comunemente usati nel calcolo combinatorio, si ha:
(disposizioni senza ripetizione); (disposizioni senza ripetizione); (combinazioni senza ripetizioni); (combinazioni con ripetizioni).
Dai polinomi alle matrici di Stirling Iniziando dai polinomi di primo grado i primi cinque casi del fattoriale decrescente sono:
I primi cinque di quello crescente sono:
Utilizzando vettori e matrici possiamo esprimere i due casi precedenti scrivendo:
Esplicitando il secondo vettore attraverso le matrici inverse si ottiene:
Le matrici dell'esempio, facilmente generalizzabile ad un qualsiasi numero di polinomi, contengono i numeri di Stirling di prima e seconda specie, alternati e no. Gli elementi di questi quattro triangoli di Stirling si possono ottenere con regole ricorsive simili a quella di Stiffel relativa al triangolo di Tartaglia
Collegamento con il calcolo umbrale I fattoriali crescenti e i fattoriali decrescenti possono essere interpretati come polinomi nella variabile e le due successioni per e per come successioni di polinomi. Questi hanno ruoli particolari nelle formule che riguardano l'azione sui polinomi di operatori come l'operatore alle differenze in avanti , formule corrispondenti al teorema di Taylor del calcolo infinitesimale indotta dall'azione dell'operatore derivazione. In queste formule e in molte altre circostanze i fattoriali crescenti e i decrescenti nel calcolo delle differenze finite giocano il ruolo che i polinomi giocano nel calcolo differenziale. Si osservi ad esempio la somiglianza fra la
e la
dove denota la derivata rispetto alla variabile . La teoria che consente di trattare sistematicamente e rigorosamente queste somiglianze è l'odierno calcolo umbrale. Più specificamente le teorie che riguardano relazioni di questo genere coinvolgenti polinomi come i fattoriali crescenti e i decrescenti sono la teoria delle sequenze polinomiali di tipo binomiale e la teoria delle successioni di Sheffer.
Note
Voci correlate Fattoriale Calcolo combinatorio Numeri di Stirling Fattoriale crescente di base q
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