La costruzione di Poinsot, dal nome del matematico e fisico francese Louis Poinsot, è un metodo geometrico per descrivere la dinamica rotazionale di un corpo rigido in assenza di momenti esterni. Tale costruzione evidenzia l'analogia tra la rotazione fisica del corpo in esame e quella di un ellissoide che rotola senza strisciare su una superficie tangente.

L'ellissoide di Poinsot L'ellissoide d'inerzia di un corpo rigido può essere scritto attraverso la forma quadratica

dove è il tensore d'inerzia del corpo.

Si consideri ora un piano tangente all'ellissoide.

L'energia cinetica rotazionale, anch'essa conservata, può essere invece scritta nella seguente maniera:

dove è la velocità angolare di rotazione del corpo.

Confrontando le due espressioni, si ottiene

Inoltre, è ortogonale al vettore momento angolare del corpo. Infatti

dove si è fatto uso della ben nota relazione .

Dunque, essendo il gradiente dell'ellissoide normale al piano tangente nel punto e parallelo al momento angolare, segue che è ortogonale a .

Ora, la distanza del centro di massa dal piano tangente è uguale alla proiezione della distanza tra il centro e il punto di tangenza lungo il vettore momento angolare ed è quindi data dal prodotto scalare

In virtù della conservazione dell'energia e del momento angolare, tale quantità rimane costante durante il moto, quando il piano è fisso.

Infine, il punto di tangenza si trova sull'asse di rotazione, quindi ha velocità nulla. Pertanto l'ellissoide rotola senza strisciare.

Le curve descritte dal punto di tangenza sull'ellissoide e sul piano possono essere utilizzate per parametrizzare la dinamica del corpo rigido. In particolare, il moto può essere descritto da due coordinate curvilinee associate a tali traiettorie.

Il moto è periodico se l'angolo descritto dal punto di tangenza sul piano nel tempo necessario a compiere un intero giro dell'ellissoide è commensurabile con

Costruzione dell'ellissoide

Consideriamo un punto qualsiasi all'interno di un corpo rigido e assumiamo un sistema di riferimento con tre assi () in , solidali al corpo.

Il versore dell'asse di rotazione si ottiene

dove sono i coseni direttori dell'asse.

Prendiamo un punto del corpo distante da

e consideriamo la sua distanza dall'asse di rotazione

Allora il momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione sarà

dove

sono, rispettivamente, i momenti di inerzia rispetto all'asse , e ; mentre

vengono detti prodotti di inerzia.

Adesso consideriamo la distanza sull'asse di rotazione, le coordinate saranno date da

Andando a sostituire le coordinate nel momento di inerzia otteniamo come risultato finale

che corrisponde a un ellissoide nello spazio, con centro nel punto .

Grazie a questo ellissoide è possibile calcolare il momento di inerzia di un qualsiasi asse di rotazione rispetto a un punto del corpo, indipendentemente dalla forma o dalla distribuzione della massa. Prendendo la retta di un asse di rotazione passante per e calcolando la distanza da all'intersezione con la conica otteniamo , dove sarà proprio il momento di inerzia per quell'asse.

Bibliografia

Voci correlate Corpo rigido Equazioni di Eulero (dinamica del corpo rigido) Ellissoide d'inerzia Teorema della racchetta da tennis

Collegamenti esterni Un simulatore 3d della dinamica del corpo rigido. È possibile visualizzare l'ellissoide di Poinsot con le relative traiettorie.

Categoria:Meccanica razionale Categoria:Dinamica