平方数

とは、整数の自乗（二乗）で表される数である。平方数は図形数の特に多角数の一種であり、正方形をなすように等間隔に点を配列した際の点の個数に対応している。、とも呼ばれる。

平方数の概念は有理数など整数以外の数に一般化できる（#一般化を参照）。

整数は無数に存在するため、平方数もまた無数に存在する。平方数の最初の数個は以下の通り（）： , ,

性質（正の）約数の個数が奇数である自然数は平方数に限る（一般に約数の個数は素因数の指数に1を足した数の積に等しく、約数の個数が奇数ならすべての指数は偶数となるため、奇数個の約数を持つ数は平方数でなければならない）特に、正の約数が3個だけある自然数は素数の平方数である（その約数はを素数として）奇数の完全数は存在したとしても約数の個数が偶数であることが知られているため、平方数は完全数ではないからまでの個の奇数の総和はに等しい：番目までの平方数の和はであり、これは番目の四角錐数に等しい。また組合せ記号を用いてとも表現できる。を除く平方数の逆数の和はに収束する：連続する平方数との間に必ず素数があるかは証明されていない（ルジャンドル予想）だが、素数であるか2個の素数の積である数が存在することは、1975年に陳景潤によって証明されている。平方数の列の階差数列は公差の等差数列であり、第2階差数列は定数列である。したがって平方数の列は2階等差数列である。平方数は連続する2つの三角数の和で表せる奇数の平方数の差はの倍数となる（奇数 , について、平方数の差は（奇数同士の和差は偶数のため）偶数の積であり、は単偶数のため積の一方は複偶数となるから、結局の倍数となる）平方数をやで割った余りはまたはである。多角数定理および類似の定理より以下のことが言える：すべての自然数は高々4個の平方数の和で表せる（四平方定理）すべての自然数は平方数と2個の三角数の和で表されるすべての自然数は平方数と偶数の平方数と三角数の和で表されるの形の自然数は高々3個の平方数の和で表される（いわゆる「三平方和定理」）二個の平方数の和について以下のことが言える：の形の素数は2個の平方数の和で表せるの形の素数はで表せるの形の素数はで表せる 31個の数を除くすべての自然数は異なる平方数の和で表せる（）相異なる2つの自然数からピタゴラス数を生成でき、直角三角形の斜辺に相当する数は2つの自然数の平方の和となり、他の一辺に相当する数は平方の差となる

平方数でもある数

フィボナッチ数である平方数はのみである三角数である平方数（平方三角数）は（）五角数である平方数は（）立方数でもある平方数は6乗数である。（）

基数に依存する性質

ハーシャッド数である平方数は（）十の位が奇数の平方数は、一の位が必ずになる。など。下2桁がの平方数は、百の位が必ずのいずれかになる。と、とと、と、とのように、数字を並べ替えただけで、別の平方数になるものがある。（）十進法において、平方数の数字根はのどれかにしかならないこれにより、三進法では三の位がの場合は一の位はまたはであり、三の位がの場合は一の位がとしかならない十進法において、平方数の下二桁はの22通りのうちどれかにしかならないこれにより、で割った余りものどれかにしかならないしで割った余りものどれかにしかならない平方数を二進法表示したとき、二の位は必ずとなる（二進法では下2桁はの4通りであり、それぞれ平方するとと二の位がいずれもであるため）

一般化有理数の平方として表される有理数を平方数ということもある。さらに一般には、可換体の乗法群の部分集合（直積集合と紛れるおそれのないときにはこれをなどと表す）の元を平方数や平方元と呼ぶことがある。主にのときに意味を持つ。

参考文献

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