ディニの判定法

ディニの判定法（ディニのはんていほう、）およびディニ＝リプシッツの判定法（ディニ＝リプシッツのはんていほう、）は、数学において、関数のフーリエ級数が特定の点において収束することを証明するために用いられる、非常に精緻な判定法である。これらの判定法は、とルドルフ・リプシッツにちなんで名付けられた。

定義を上の関数とし、をある点、を正の数とする。点における局所連続率（local modulus of continuity）を以下のように定義する。

ここで、は周期関数として考える。例えば、でが負の場合、と定義される。

大域的な連続率（または単に連続率）は、以下のように定義される。

これらの定義を用いると、主要な結果は次のように述べられる。

例えば、この定理はのときには成立するが、のときには成立しない。

特に、ヘルダー条件を満たす任意の関数は、ディニ＝リプシッツの判定法を満たす。

精度これら両方の判定法は、その種の判定法の中で最良のものである。ディニ＝リプシッツの判定法については、連続率がの代わりにを用いた以下の条件を満たし、かつそのフーリエ級数が発散するような関数を構成することが可能である。

ディニの判定法に関する精度の言及は、それよりも少し長くなる。すなわち、次を満たす任意の関数に対して、

点 0 において次を満たし、かつそのフーリエ級数が点 0 において発散するような関数が存在する。

参考文献

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