複素解析における一価性定理またはモノドロミー定理は、正則関数の解析接続に関する重要な結果である。解析接続の基本的な考え方は、元々の定義域から出発し、より大きな集合へと到達する曲線に沿って、正則関数を延長する、というものである。ここで問題になるのは、より大きな集合の点を任意に固定したとき、元々の定義域から出発してその点へと到達する曲線は、一般に複数あることである。一価性定理は、解析接続が曲線の選び方に依存せず一意な値を定める十分条件を与える。すなわち、一価性定理の仮定の下では、正則関数はより大きな集合におけるwell-definedな一価関数へと拡張される。
曲線に沿った解析接続 一価性定理について述べる前に、曲線に沿った解析接続の定義と、その性質を述べておく。
曲線に沿った解析接続の定義はやや技術的だが、基本的な考え方は次のようである。正則関数が始点の近傍で定義されているとする。曲線上の各点のまわりに小さな開円板を取り、それぞれの円板で定義された正則関数を、円板が重なる部分では一致するように、曲線に沿って選んでゆく。すると、関数は曲線の終点まで延長される。
正確な定義は以下の通りである。曲線 は連続とし、正則関数 は を中心とする開円板 上で定義されるとする。このとき、 に沿った組 の解析接続とは、 で添字付けられた関数と集合の組 の族で、以下の条件を満たすものをいう。
かつ である。 任意の に対して、 は を中心とする開円板かつ、 は 上で定義される正則関数である。 任意の に対して が存在し、 の -近傍に属する任意の に対して が成立し、共通部分 上で と は一致する（なお なので、共通部分は空集合にはなりえない）。
曲線に沿った解析接続の性質 曲線に沿った解析接続は、終点の近傍で一致するという意味で一意である。すなわち、 と を曲線 に沿った の解析接続とすると、 と は 上で一致する。
仮に が閉曲線、すなわち であっても、 と が の近傍で一致するとは限らない。たとえば、実軸上の点 の近傍で定義される複素対数関数から出発し、円周 を始点 から反時計回りに一周する曲線 に沿って解析接続すると、終点における値は始点における値に を加えた値となる（右図）。
一価性定理
前述の通り、同じ曲線に沿った2つの解析接続は、終点において同じ結果を与える。一方で、始点と終点を共有する異なる2つの曲線に沿ってそれぞれ解析接続すると、終点における値は必ずしも等しくない。
終点における値が一致しない例を挙げよう。前節と同様に、実軸上の点 の近傍で定義される複素対数関数から出発する曲線を考える。このとき、円周 の上半平面にある円弧を反時計回りにパラメータづけた曲線を 、下半平面にある円弧を時計回りにパラメータづけた曲線を とすると、に沿った解析接続と に沿った解析接続では、終点での値がちょうど 異なる。
しかし、始点と終点を変えずに一方の曲線を他方の曲線へと連続変形でき、かつ、変形の過程で現れる各曲線に沿って解析接続が可能であれば、2つの曲線に沿った解析接続は、終点において等しい値をとる。このことを一価性定理という。以下でその主張を厳密に述べる。
を複素平面上の中心 の開円板とし、 を正則関数とする。 を複素平面上の点とする。 でパラメータづけられた曲線 の族について、以下のことを仮定する。
任意の に対して かつ である。 は始域 、終域 の連続関数である。 任意の に対して は に沿って解析接続できる。
このとき、 の に沿った解析接続と に沿った解析接続は、 において等しい値をとる。
一価性定理を用いると、元々の定義域の点から出発し、より大きな集合の各点へと到達する曲線を介して、正則関数をより大きな集合へと延長できる。この事実をより形式的に述べた以下の定理も、一価性定理と呼ばれる。
を複素平面上の中心 の開円板とし、 を正則関数とする。開集合 が を含んでいて単連結かつ、 を始点とする 内の任意の曲線に沿って が解析接続できるならば、 は 上に直接解析接続できる。すなわち、 への制限が に一致する 上の正則関数がただ一つ存在する。
関連項目
解析接続 モノドロミー
参考文献
外部リンク
Monodromy theorem at MathWorld
Monodromy theorem at the Encyclopaedia of Mathematics