調和数

調和数（ちょうわすう、）とは、自然数のうち、全ての正の約数の調和平均が整数値になる数のことである。最小は で、その次は である。実際、 の正の約数4個の調和平均は で整数値となるので は調和数である。

自然数の調和数の判定は、 ×(の約数の個数)/(の約数の総和) が割り切れるかどうかで判定でき、約数関数が利用される。

調和数が無数に存在するかどうかは分かっていない。また、 以外の奇数の調和数は発見されておらず、存在するかどうかも分かっていない。

完全数は偶数のみが確認されており完全数#奇数の完全数、偶数の完全数は、その定義から、の約数の総和が2であり、かつ、の約数の個数が偶数である完全数#偶数の完全数の性質ので、調和数である。

調和数の列は （）である。

この調和数の列に対して、各調和数の正の約数の調和平均の列は （） である。

その他調和数に関連すること までの自然数の逆数和、つまり調和級数の部分和は調和数と呼ばれる。この調和数は では整数値にならないことが知られている。区別のため完全数が含まれるほう（本項目）の調和数をオアの調和数と呼ぶこともある。オアは1948年に調和数の概念を考案した数学者の名前である。

脚注

関連項目 完全数 調和級数 調和平均 約数関数