冪集合

はある集合の全ての部分集合からなる集合である。、巾は冪の一部分をとった略字とも。

定義 を任意の集合とする。集合 が次の条件、

を満たすとき、 は「 の冪集合」である。

すなわち、 のすべての部分集合からなる集合が冪集合である。

例 与えられた集合 に対する冪集合 の例として以下が挙げられる： 空集合 の冪集合 は空集合を唯一つの元として持つ一元集合 であり、空集合 とは別のものである。

記法 集合 の冪集合は、冪を表す からとって、 , ℘(S), 2S などのようにしばしば記される。2S という表記は、一般に XY が Y から X への写像全体の集合を表すことによる（後述）。

なお「冪（べき）」は冪乗の「冪」と同じものである。

性質

冪集合の元は部分集合・部分集合は冪集合の元 「冪集合の元である 」は「もとの集合の部分集合である 」と同義である。

これは定義から明らかである。

一意性

集合 が与えられたとき、その冪集合 は一意に定まる（= 常に 1 つだけ存在する）。

Z公理系において、一意性は冪集合公理・外延性公理・分出公理より導かれる。なお、冪集合公理は冪集合が存在する必要条件冪集合を部分集合に含む集合の実在性を公理として直接定めている。

構造 包含関係による順序 冪集合は包含関係を順序として順序集合になる。冪集合を底となる集合、包含関係を順序とする順序集合 （ここでの は集合が一致する場合も含む）に順序同型な順序集合は単体様半順序集合 と呼ばれ、単体の一つの組合せ論的な特徴づけを与える（底となる から空集合を抜いた順序集合を指すこともある）。また、冪集合 に包含関係と逆の順序

を与えた順序集合 は、もとの順序集合 に順序同型で、その対応は補集合をとる操作

によって与えられる。またこの対応で、集合の結びと交わりが互いに入れ替わる（双対性：ド・モルガンの法則）、対称差は不変（自己双対性）などを見て取ることができる。

順序集合 の部分集合である集合族

が与えられたとき、集合族の結びや交わりをとる操作

は、この集合族に対して包含関係による順序に関する上限と下限を与える。とくに、 の二つの部分集合 について

を考えることにより、組 は完備束となる。完備束の条件は空で無い部分集合族に対する上限・下限の存在を要求するものであるが、冪集合の束では集合族 が空集合であるときにも

が冪集合 の中に存在する。

集合代数系

冪集合に定義される様々な集合演算は、冪集合を代数系として取り扱う手段を与えてくれる。たとえば、集合の結び や交わり は交換可能で結合的な演算であるから、半群として冪集合を見ることができる。さらに、結びに関する中立元は空集合 であり、全体集合 が交わりに関する中立元となるので、 や はモノイドである。また、対称差 を与えられた演算とする代数系 は、空集合を単位元とし、補集合を逆元にもつ群になる。

結び と交わり は互いに他に対して分配的であるので、 に環の構造を見て取ることができる。とくに冪集合 を、集合の結び、交わり、補集合をとる操作および結び・交わりそれぞれに関する中立元を備えた代数系

と考えたものはブール代数の例を与える。一方、事実として、任意の有限ブール代数は有限集合のべき集合が作るこのブール代数によって同型的に実現することができる。

冪集合の濃度 S の部分集合 A とその指示関数 を対応づけることにより、冪集合 2S と S から {0, 1}集合論の慣例で、自然数 2 を集合 {0,1} と同一視している。への写像全体のなす集合 Map(S, {0, 1}) =: {0 ,1}S が一対一に対応する。これは、S の元 a が部分集合 A に属するとき 1、属さないとき 0 をラベル付けすることで部分集合 A が特定できるということに対応する。したがって特に A の濃度 card(A) が有限の値 n であるとき冪集合 2A の濃度 card(2A) は 2card(A) = 2n に等しい。一般に、有限集合 E から有限集合 F への写像の総数は card(F)card(E) となり、このことは E から F への写像全体のなす集合を FE と記す（無限集合の場合にも記号を流用する）ことの根拠の一つとなっている。そして、冪集合やその濃度の2の冪としての記法はこれの特別の場合にあたる。

冪集合の濃度は元の集合の濃度より常に大きい（カントールの定理）。有限集合のときにはこれは自明である。一般の場合は、カントールの対角線論法によって示される。

脚注

注釈

出典

参考文献

関連項目 集合 集合論 公理的集合論 冪集合公理 ブール代数 連続体濃度 連続体仮説