微分法の分野における全微分（ぜんびぶん、）は多変数の場合の函数の微分である。
を （あるいはより一般に可微分多様体）の開集合として、全微分可能な函数 の全微分を と書けば、これは
のように表される。全微分と偏微分の区別のため、全微分には "丸くない d" を用い、偏微分には "丸い d" つまり ∂ を用いる。以下、扱う函数は全て全微分を持つものと仮定するから、同時にそれは偏微分可能であり、また は上記の式として表すことが可能となることに注意。
伝統的には、あるいは現代においても自然科学などの分野においてしばしば、微分 などを無限小として扱う。一方現代数学的な取扱いでは、微分形式（特に微分 1-形式）と考える。これは完全に形式的な式と考えることもできるし、線型写像として扱うこともできる。函数 の点 における微分 は、各ベクトル に対して における -方向への方向微分を対応付ける線型写像になる。この線型写像 を の における全微分係数ともいい、各点 に を対応させるもの（微分 1-形式）が全微分 である。
全微分と線型近似 以下、特に断らない限り、 を の開集合、 を 上の函数とし、全微分可能な函数のみを扱う。点 に対し、線型写像 で
を満たすものが存在するとき、 は で全微分可能であるという。このような は一意に定まり、 の における全微分係数 (total derivative) と呼ばれる。 は函数
を近似する線型写像であり、 が で全微分可能ならば は で連続かつ偏微分可能で、 が十分小さいとき
と書くことができる。
全微分可能性は偏微分可能性より強い条件であり、偏微分可能であっても全微分可能とは限らない。例えば （）, は原点で偏微分可能であるが、原点で連続でないため全微分可能ではない。一方、 の偏導函数がすべて存在して連続（-級）ならば、 は全微分可能である。
数学では、この写像を の における全微分 (total differential) とも呼ぶ（この意味において、全微分係数と は同じ線型写像を指す）。微分小 を、 にその第 -成分 を対応させる写像 と見れば、写像としての等式
が成り立ち、上記の近似式は
と書くことができる。
物理学などの自然科学では、微分小 を微小な変分 そのものとみなすことがある。このとき、 の全微分 はその変分の線型主要部であり、前節の近似式は
あるいは
と書くことができる。
線型写像としての全微分 実線型空間 がベクトル空間 の開集合で、 は（各点で）全微分可能とする。任意の点 における全微分 は、各ベクトル に対して方向微分を割り当てる線型写像、即ち
である。 は R-値であるから、これは線型形式であり、また をベクトルの第 -成分を取り出す写像（双対基底）
とすれば、上記は
と書ける。あるいはまた勾配を用いて
と書くこともできる。右辺は の標準的な内積である。勾配 は内積（計量）の選び方に依存して定まるのに対し、 は内積を用いずに定義される。
多様体
一般の場合として、 を 次元可微分多様体、 を 上の可微分函数とする。点 における全微分 は接ベクトル に対して、その方向への方向微分を割り当てる。接ベクトル （ は を満たす 内の曲線）に対し、
である。従って全微分 は の点 における余接空間 の元である。
を適当な局所座標系のもとで表示するために、点 のまわりの座標近傍 と、その座標写像（ から の開集合への可微分同相写像） で となるものをとる。 の標準基底を とし、 個の曲線 （ は 0 に十分近い）を考えると、 は の基底をなし、
と偏微分を得ることができる。先の例と同様に は写像 の全微分とすれば、これは の元であって、 の双対基底を成し、上記は
と書ける。
接ベクトル を（微分作用素）と見れば、 を得る。
連鎖律
は全微分可能な函数で、, は微分可能な曲線とすると、合成函数 は微分可能で、その導函数は
と書ける。一般に、可微分写像 と函数 の合成について が成り立ち、多様体の場合にもこの形で成り立つ。
無限小と微分形式 無限小変分としての全微分を考えることは全微分を理解する単純な方法である。たとえば時刻 と時刻 に依存する 個の変数 の函数 を考えるとき、 の無限小変分は
で与えられる。しばしばこの式は「経験論的」な無限小の間の関係として解釈されるが、変数 および を函数と思えば、 はこれらの函数と の合成と解釈できるから、上記は微分 1-形式の間の等式として完全に意味を持ち、外微分に関する連鎖律からすぐに得られる。この観点では、変数間に微分可能な関係式が成り立つ場合に、それに対応する微分間の関係式を導くことができる。たとえば、 のとき、 が成り立つ。特に全ての変数 が の函数ならば
となる。
可積分性
上の任意の 1-形式 は、 上の函数 を用いて
と表示できる。函数 の全微分 は 1-形式の一例であり、 に当たる。微分形式の解析学においてカルタン微分 は 2-形式
である。 が実際に -級函数 の全微分 であるとき、即ち のとき二階微分の対称性により
が成り立つ。
局所的には常にこの逆が成り立つ（ポアンカレの補題）: -級の 1-形式 が を満足するならば、その点の適当な近傍において の原始函数、すなわち可微分函数 で を満足するものが存在する。
このことから を可積分条件と呼ぶことがある。これは具体的には任意の に対して , あるいは
が成り立つことである。
を満たす 1-形式 が、 全体で定義された原始函数を持ち、その全微分になる場合も多い。これは例えば、 が 全体、あるいはより一般にの領域である場合や、単連結な領域である場合などである。一方、一般の領域では成り立つとは限らず、例えば 上の 1-形式 は を満たすが、原始函数を持たない。
多様体 上の、可積分条件 を満たす任意の 1-形式 が原始函数を持ちその全微分となるという主張は、一次のド・ラームコホモロジー が自明であることと同値である。
微分積分学の基本定理 において滑らかな函数 による -形式 を考えるとき、次元の関係から（ 上の 2-形式は 0 であるため）必ず が成立する。従って において可積分条件が成り立ち、適当な可微分函数 が存在して , 即ち が成立する。これは一変数の場合の微分積分学の基本定理のうち、原始函数の存在に関する主張に対応する。 が連続であれば、原始函数の存在は同定理により保証される。
全微分方程式
全微分方程式 (total differential equation) は、1-形式 を用いて （座標では ）の形に書ける微分方程式である。特に が函数 の全微分 であるとき、方程式 の解は で与えられ、このような方程式を完全微分方程式（exact differential equation）という。 が完全であるための必要条件が可積分条件 である。
一般化 同様にして（成分ごとに考えて）ベクトル値函数 の全微分も定義できる。このとき は の線型写像であり、標準基底に関するその表現行列がヤコビ行列である。終域をほかのベクトル空間に取り換えることもできる。可微分多様体間の可微分写像 に対しては、全微分は接空間の間の線型写像 となり、これを微分写像という。
函数解析学では、全微分はバナッハ空間などの間の写像に対するフレシェ微分として一般化される。変分法では、汎函数のフレシェ微分あるいはガトー微分に相当するものを第一変分といい、はそれを積分の形で表示した際の核として現れる。
熱力学での利用 熱力学では、内部エネルギー のように状態のみで定まる量（状態量）の微小変化は全微分で表される。たとえば が の函数であるとき、 と書ける。一方、熱 や仕事 の微小量は一般には状態量の全微分ではなく、 などと書いて区別される。物理学では、全微分で表される微分を完全微分、そうでないものを不完全微分と呼ぶことがある。ある微分 1-形式が全微分であるための必要条件は、上記の可積分条件 である。
参考文献 Alle Lehrbücher der Analysis, üblicherweise Band 2, „Mehrere Veränderliche“, etc. 松本幸夫『多様体の基礎』東京大学出版会（1988年）
出典