mini|Tyngdeakselerasjon er svært merkbar ved hopp i fallskjerm der den blir motvirket av luftmotstanden. Tyngdeakselerasjonen er den akselerasjonen et legeme i fritt fall får i et gravitasjonsfelt. Vanligvis skyldes dette gravitasjonen skapt av Jordens masse og dens rotasjon. På andre planeter og måner har tyngdeakselerasjonen derfor forskjellig verdier bestemt av deres tilsvarende egenskaper.
Ekvivalensprinsippet sier at tyngdeakselerasjonen i hvert punkt er lik med gravitasjonsfeltet i samme punkt. Begge er vektorfelt og betegnes vanligvis ved det samme symbolet g. På Jorden vil størrelsen variere med breddegrad og høyde over havet. Ved polene er tyngdeakselerasjonen 9.832 m/s2, mens den har verdien 9.780 m/s2 ved ekvator. Oslo som ligger på breddegrad 60°, er tyngdeakselerasjonen 9.819 m/s2.
Symbolet g0 brukes som en måleenhet for akselerasjon hvor 1g0 er definert som 9.80665 m/s2. Verdien er valgt som en tilnærmet gjennomsnittsverdi for tyngdeakselerasjonen på havoverflaten ved 45.5° bredde.
I SI-systemet måles tyngdeakselerasjon i enheter av 1 m/s2. Men i mange praktiske sammenhenger benyttes ofte fremdeles den eldre enheten fra det tidligere CGS-systemet. Den er oppkalt etter Galileo Galilei som var den første som målte tyngdeakselerasjoen på Jorden. Slike målinger omtales som gravimetri og kan i dag bestemme tyngdeakselerasjoner med en nøyaktighet ned til 10-8 m/s2.
Tyngdeakselerasjon på Jorden left|thumb|360px|Variasjon av tyngdeakselerasjon med avstanden fra Jordens sentrum. For dens indre er resultatet av forskjellige modellberegninger vist. I den enkleste beskrivelse av tyngdeakselerasjonen på Jorden, antar man at den er kuleformet med radius R og masse M. Newtons gravitasjonslov gir da direkte størrelsen til gravitasjonsfeltet på Jordens overflate som
hvor G er gravitasjonskonstanten og man ser bort fra jordrotasjonen. Dette er da også verdien til tyngdeakselerasjonen på jordoverflaten. Setter man her inn og , får man resultatet som tilfeldigvis er den målte verdien i Oslo. P. Jerstad og B. Sletbak, Rom Stoff Tid, 3FY, J.W. Cappelens Forlag, Oslo (1998). ISBN 82-02-17155-5.
I en høyde h over havet gir Newtons lov at tyngdeakselerasjonen er redusert til . Så lenge , kan den derfor skrives som
og avtar forholdsvis langsomt. Først i en høyde av 300 km er den blitt 10 % mindre. I denne høyden beveger mange kunstige satellitter seg. J.R. Lien og G. Løvhøyden, Generell fysikk for universiteter og høgskoler, Bind 1, Universitetsforlaget, Oslo (2001). ISBN 978-8-2150-0005-3.
For å beregne tyngdeakselerasjonen inni Jorden, behøver man å vite mer om dens indre oppbygning. I det enkleste tilfellet kan man anta at den har en uniform massetetthet ρ. Ved å bruke Newtons skallteorem er da tyngdeakselerasjonen i en avstand r fra Jordens sentrum gitt som hvor er massen innenfor en kuleflate med denne radius. Det gir direkte
slik at i denne modellen øker tyngdeakselerasjonen proporsjonalt med avstanden fra sentrum hvor den er null. Mer nøyaktig kjennskap til Jordens indre vil gi et noe annet resultat. D. Turcotte and G. Schubert, Geodynamics, Cambridge University Press, England (2002). ISBN 978-0-521-18623-0.
Bidrag fra rotasjonen Tyngdeakselerasjonen på Jorden som skyldes dens masse, er en vektor gN som er rettet mot dens sentrum og en størrelse som er gitt ved Newtons gravitasjonslov, under antagelsen at massen er kuleformet. Men i tillegg kommer et bidrag gs som skyldes jordrotasjonen som skjer rundt en nord-syd akse med periode T = 24 timer. Dette bidraget tilsvarer sentrifugalkraften i et roterende referansesystem og er rettet utover vinkelrett på denne aksen. Størrelsen er gitt som hvor er vinkelfrekvensen og er avstanden til aksen hvis stedet på jordoverflaten har breddegrad λ. Den totale tyngdeakselerasjonen har da en komponent med størrelse
rettet inn mot sentrum, mens den andre komponenten er parallel til overflaten og peker mot ekvator. Den medfører at Jordens masse forskyves i denne retningen slik at den her vil bli litt videre og tilsvarende sammentrykt ved polene. Den får samme form som en oblat sfæroide.
Det er den første komponenten som oppleves som tyngdeakselerasjon. Den har en variasjon med breddegraden som er bestemt av forholdet og gir resultatet
Ved ekvator λ = 0° reduserer Jordens rotasjon derfor tyngdeakselerasjonen til Mer nøyaktige verdier oppnås ved å ta hensyn til at den samme rotasjonen også vil gi et bidrag til det newtonske gravitasjonsfeltet som ikke lenger skyldes en kuleformet massefordeling.
Jordens form
Begge bidragene til tyngedeakselerasjon på Jorden kan kombineres og skrives som hvor er det totale gravitasjonspotensialet som virker. Jordens overflate vil være en ekvipotensialflate gitt ved ligningen Φ = konstant. Den kan løses og gi som beskriver formen til overflaten. Tyngdeakselerasjonen g vil da stå overalt vinkelrett på denne.
De to komponentene til sentrifugalakselerasjonen gs følger fra potensialet
og avtar når avstanden r øker. Det tilsvarer at den virker utover. Mer komplisert er det å finne det newtonske gravitasjonspotensialet som ikke lenger kan antas å ha kulesymmetri. Men da avviket skyldes rotasjonen, vil det ha aksial symmetri. Potensialet kan beregnes ved en multipolutvikling hvor de første leddene vil gi de nødvendige korreksjonene til Newtons gravitasjonslov. Når man videre antar at massefordelingen er symmetrisk om ekvatorialplanet, vil ikke dipolleddet bidra. Den viktigste korreksjonen kommer da fra kvadrupolleddet. Denne delen av gravitasjonspotensialet blir dermed
hvor lengden a er definert som Jordens radius ved ekvator og J2 er en dimensjonsløs parameter som beskriver avviket fra en eksakt sfærisk symmetrisk massefordeling. Den kan uttrykkes ved treghetsmomentene til Jorden som
hvor C er treghetsmomentet rundt rotasjonsaksen og A om en akse normalt på denne gjennom sentrum.
thumb|300px|En flattrykt rotasjonsellipsoide med akser a og b. Formen til Jorden er nå bestemt ut fra kravet at det totale potensialet Φ(r,λ) = ΦN + Φs skal være konstant på overflaten. Mens a er radius ved ekvator, kan radius til en av polene kalles c. Da må = . Det relative forholdet mellom disse to lengdene uttrykkes ved flattrykningen
som for Jorden er observert å være f = 3.35×10-3 = 1/298. Formen til overflaten er en flattrykt rotasjonsellipsoide gitt ved ligningen
Denne ligger til grunn for «referanseellipsoiden» som brukes i World Geodetic System.
Kravet om konstant potensial på overflaten gir nå til laveste orden at
hvor forholdet = 3.46×10-3 . Da verdien til flattrykningen f er kjent, kan herav asymmetrien til massefordelingen J2 finnes.
Nøyaktigere tyngdeakselerasjon
Tyngdeakselerasjonen som er gitt ved gradienten , vil ha to komponenter hvorav den radielle - ∂Φ/∂r er dominerende. Den har en størrelse gitt ved
Ved å benytte her ligningen for rotasjonsellipsoiden, finner man formelen for tyngdeakselerasjonen. Til laveste orden i de små størrelsene f, m og J2 kan den skrives som
Setter man inn de numeriske verdiene, gir den resultatet
Mens verdien ved ekvator er blitt redusert til 9.780 m/s2, er den øket til 9.832 m/s2 ved polene. Det kan forstås ved at punkt langs ekvator er kommet litt lenger bort fra Jordens sentrum, mens polene er kommet tilsvarende nærmere. Enda nøyaktigere formler kan utledes ved å ta med høyere ordens ledd i denne beregningen.
Konstant massetetthet
Tyngdeakselerasjonen på hvert sted er avhengig av rotasjonshastigheten ω og massefordelingen til Jorden. Disse to størrelsene er generelt ikke uavhengig av hverandre. I det enkleste tilfellet kan man tenke seg at den har en konstant massetetthet ρ. Med en bestemt form gitt ved ellipseaksene a og c = a (1 - f ), er da dens masse gitt som
,
mens de to treghetsmomentene er
Denne massefordelingen gir dermed asymmetriparameteren
Siden flattrykningen f << 1, har man derfor at J2 = 2f /5 som igjen betyr at rotasjonsparameteren m = 4f /5. Dette stemmer ikke helt med de observerte verdiene, og man må konkludere at massetettheten i Jorden er mer komplisert.
Referanser
Kategori:Klassisk mekanikk Kategori:Gravitasjon Kategori:Akselerasjon