Na matemática, mais especificamente na teoria das categorias, uma quase-categoria (também chamada de quasecategoria, complexo de Kan fraco, complexo de Kan interno, categoria infinito, ∞-categoria, complexo de Boardman ou quategoria) é uma generalização da noção de uma categoria. O estudo de tais generalizações é conhecido como teoria das categorias superiores.
Visão geral
As quase-categorias foram introduzidas por . André Joyal avançou muito o estudo das quase-categorias, mostrando que a maior parte da teoria básica usual das categorias e algumas das noções e teoremas avançados têm seus análogos para as quase-categorias. Um tratado elaborado da teoria das quase-categorias foi exposto por .
As quase-categorias são certos conjuntos simpliciais. Como as categorias comuns, elas contêm objetos (os 0-simplexos do conjunto simplicial) e morfismos entre esses objetos (1-simplexos). Mas, ao contrário das categorias, a composição de dois morfismos não precisa ser definida de forma única. Todos os morfismos que podem servir como composição de dois morfismos dados estão relacionados entre si por morfismos invertíveis de ordem superior (2-simplexos pensados como "homotopias"). Esses morfismos de ordem superior também podem ser compostos, mas novamente a composição é bem definida apenas a menos de morfismos invertíveis de ordem ainda mais alta, etc.
A ideia da teoria das categorias superiores (pelo menos, a teoria das categorias superiores quando os morfismos superiores são invertíveis) é que, em oposição à noção padrão de uma categoria, deve haver um espaço de mapeamento (em vez de um conjunto de mapeamento) entre dois objetos. Isso sugere que uma categoria superior deve ser simplesmente uma categoria topologicamente enriquecida. O modelo de quase-categorias é, no entanto, mais adequado para aplicações do que o de categorias topologicamente enriquecidas, embora tenha sido provado por Lurie que as duas possuem estruturas de modelo naturais que são equivalentes de Quillen.
Definição
Por definição, uma quase-categoria é um conjunto simplicial que satisfaz as condições de Kan internas (também chamadas de condição fraca de Kan): todo corno interno (inner horn) em , a saber, um mapa de conjuntos simpliciais onde , tem um preenchimento (filler), isto é, uma extensão para um mapa . (Veja fibração de Kan para uma definição dos conjuntos simpliciais e .)
A ideia é que os 2-simplexos devem representar triângulos comutativos (pelo menos a menos de homotopia). Um mapa representa um par composível. Assim, em uma quase-categoria, não se pode definir uma lei de composição para morfismos, uma vez que se pode escolher muitas maneiras de compor os mapas.
Uma consequência da definição é que é uma fibração de Kan trivial. Em outras palavras, embora a lei de composição não seja definida de forma única, ela é única a menos de uma escolha contrátil.
A categoria de homotopia
Dada uma quase-categoria , pode-se associar a ela uma categoria comum , chamada de categoria de homotopia de . A categoria de homotopia tem como objetos os vértices de . Os morfismos são dados por classes de homotopia de arestas entre os vértices. A composição é dada usando a condição de preenchimento de corno para .
Para um conjunto simplicial geral, existe um funtor de sSet para Cat, o adjunto à esquerda do funtor nervo, e para uma quase-categoria , temos .
Exemplos
O nervo de uma categoria é uma quase-categoria com a propriedade extra de que o preenchimento de qualquer corno interno é único. Inversamente, uma quase-categoria tal que qualquer corno interno tenha um preenchimento único é isomorfa ao nervo de alguma categoria. A categoria de homotopia do nervo de é isomorfa a . Dado um espaço topológico , pode-se definir o seu conjunto singular , também conhecido como o ∞-grupoide fundamental de . é uma quase-categoria na qual todo morfismo é invertível. A categoria de homotopia de é o grupoide fundamental de .
Mais geral do que o exemplo anterior, todo complexo de Kan é um exemplo de quase-categoria. Em um complexo de Kan, todos os mapas de todos os cornos — não apenas os internos — podem ser preenchidos, o que novamente tem como consequência que todos os morfismos em um complexo de Kan são invertíveis. Os complexos de Kan são, portanto, análogos a grupoides - o nervo de uma categoria é um complexo de Kan se e somente se a categoria for um grupoide. Os próprios complexos de Kan formam uma ∞-categoria denotada como Kan ou também S. Precisamente, é o nervo homotopicamente coerente da categoria dos complexos de Kan. Da mesma forma, a ∞-categoria de ∞-categorias (pequenas) é definida como o nervo homotopicamente coerente da categoria de ∞-categorias. Precisamente, seja a categoria enriquecida simplicialmente onde um objeto é uma ∞-categoria pequena e o conjunto-simplicial-hom de a é o núcleo (core) da ∞-categoria . Então o nervo homotopicamente coerente de é a ∞-categoria de ∞-categorias pequenas.
Nervo homotopicamente coerente
Um nervo comum de uma categoria perde morfismos superiores (por exemplo, uma transformação natural entre funtores, que é um 2-morfismo ou uma homotopia entre caminhos). O nervo homotopicamente coerente de uma categoria enriquecida simplicialmente permite capturar tais morfismos superiores.
Primeiro, definimos como uma versão "espessada" da categoria ( é um conjunto parcialmente ordenado, então pode ser visto como uma categoria). Por definição, ele tem o mesmo conjunto de objetos que , mas o conjunto-simplicial-hom de a é o nervo de , onde é o conjunto de todos os subconjuntos de contendo e é parcialmente ordenado por inclusão. Ou seja, em , um morfismo se parece com ou nenhum se . (Formalmente, é uma substituição cofibrante de .)
Então, é definido como o conjunto simplicial onde cada -simplexo é um funtor enriquecido simplicialmente de para . Além disso, se tem a propriedade de que é um complexo de Kan para cada par de objetos , então é uma ∞-categoria.
O funtor de sSet para sSet-Cat é então definido como o adjunto à esquerda de . Uma aplicação importante é:
Teorema: Seja uma categoria enriquecida sobre Top (onde Top é a categoria de espaços de Hausdorff fracos compactamente gerados). Então o mapa de counidade
é uma equivalência fraca de homotopia para cada par de objetos em , onde é o complexo singular de .
O teorema implica que uma abordagem simplicial para a teoria das ∞-categorias é equivalente (no sentido fraco acima) a uma abordagem topológica para tal teoria.
Construções Se , são ∞-categorias, então o conjunto simplicial , o Hom interno em sSet, também é uma ∞-categoria (mais geralmente, é uma ∞-categoria se for apenas um conjunto simplicial e for uma ∞-categoria).
Se são objetos em uma ∞-categoria , então é um complexo de Kan, mas a priori não é um funtor. Um funtor que se restringe a ele pode ser construído da seguinte forma.
Seja um conjunto simplicial e a categoria enriquecida em sSet gerada por ele. Uma vez que é um funtor, fornece um funtor
onde à direita está a 1-categoria de complexos de Kan. Então, como é um adjunto à esquerda para , a composição corresponde a
Tomando como uma ∞-categoria , o mapa acima é o funtor hom
que se restringe a
Ver também: limites e colimites em uma ∞-categoria, núcleo de uma ∞-categoria.
Equivalências entre ∞-categorias
Dado um funtor entre ∞-categorias, diz-se que é uma equivalência (no sentido de Joyal) se for invertível em ∞-Cat, a ∞-categoria das ∞-categorias (pequenas).
Como na teoria das categorias comuns, (com a presença do axioma da escolha), é equivalência se e somente se for: plenamente fiel (fully faithful), significando que é uma equivalência para cada par de objetos , e essencialmente sobrejetivo, significando que para cada objeto em , para algum objeto em . e
Pré-feixes Assim como na teoria das categorias comuns, pode-se considerar um pré-feixe em uma ∞-categoria . Do ponto de vista da teoria das categorias superiores, tal pré-feixe não deve assumir valores em conjuntos, mas assumir valores em espaços (por exemplo, para uma formulação correta do lema de Yoneda). A hipótese da homotopia afirma que pode-se tomar um ∞-grupoide, concretamente um complexo de Kan, como um espaço. Dado isso, consideramos a categoria de "∞-pré-feixes" em como , onde é a ∞-categoria dos complexos de Kan. Um pré-feixe com valores em categorias é comumente chamado de pré-pilha (prestack). Assim, pode-se pensar em como consistindo em ∞-pré-pilhas.
(Com uma escolha de uma estrutura de funtor no Hom), obtém-se então o mergulho de ∞-Yoneda como no caso das categorias comuns:
Adjunções Existem pelo menos duas abordagens equivalentes para adjunções. No livro de Cisinski, uma adjunção é definida exatamente como na teoria das categorias comuns. A saber, dois funtores são ditos formarem um par adjunto se existir um 2-morfismo tal que a restrição a cada par de objetos em , em ,
seja invertível em (lembrando que os espaços de mapeamento são complexos de Kan).
Em seu livro Higher Topos Theory, Lurie define uma adjunção como sendo um mapa que é, ao mesmo tempo, uma fibração cartesiana e cocartesiana. Uma vez que é uma fibração cartesiana, pela construção de Grothendieck (mais precisamente, por retificação - straightening), obtém-se um funtor
Similarmente, como também é uma fibração cocartesiana, existe também Então eles formam um par adjunto e, inversamente, um par adjunto determina uma adjunção.
Objetos finais e mapas finais Seja um objeto em uma ∞-categoria . Então as seguintes afirmações são equivalentes: O funtor constante com valor é um objeto final na categoria para cada conjunto simplicial . O espaço de mapeamento é contrátil para cada objeto em . A projeção é uma fibração de Joyal trivial. como um mapa é uma extensão anódina à direita. é o limite de um único funtor a partir do conjunto vazio. Diz-se então que é final se qualquer uma das condições equivalentes acima for satisfeita. Os objetos finais formam uma subcategoria plena, um ∞-grupoide, que é vazio ou contrátil.
Por exemplo, um pré-feixe é representável se e somente se a ∞-categoria de elementos para tiver um objeto final (pois a representabilidade equivale a dizer que a ∞-categoria de elementos é equivalente a uma categoria vírgula sobre ).
Mais genericamente, um mapa entre conjuntos simpliciais é chamado de final se pertencer à menor classe de mapas que satisfaz o seguinte: Uma extensão anódina à direita pertence à classe . A classe é estável sob composição. Se e estão em , então está em . Então um objeto é final se e somente se o mapa for um mapa final. Além disso, um mapa é chamado de cofinal se for final.
∞-categorias apresentáveis As categorias de pré-feixes (discutidas acima) possuem certas propriedades convenientes e suas localizações também herdam tais propriedades até certo ponto. Uma ∞-categoria é chamada de apresentável se for uma localização de uma categoria de pré-feixes em uma ∞-categoria no sentido de Bousfield (a noção depende fortemente de uma escolha de universo, que é omitida aqui. Mas uma maneira de lidar com essa questão é manter manualmente o controle de cardinais. Outra é usar a noção de uma ∞-categoria acessível como feito por Lurie).
Cisinski nota que "Qualquer estrutura algébrica [razoável] define uma ∞-categoria apresentável," após se tomar um nervo. Assim, por exemplo, "a categoria de grupos, a categoria de grupos abelianos, a categoria de anéis" são todas (seus nervos são) ∞-categorias apresentáveis. Além disso, o nervo de uma categoria de conjuntos pequenos é apresentável.