Na matemática, o critério de Raabe, também chamado de teste de Raabe ou critério de Raabe-Duhamel, permite determinar a convergência de séries de termos reais positivos. O critério foi definido pelo matemático suíço Joseph Ludwig Raabe.
Enunciado Seja uma série de termos positivos. Ou, de forma equivalente, podemos assumir .
Suponhamos que exista um limite .
.
Temos que se:
ou , então a série é convergente. ou , então a série é divergente. , o critério não determina a convergência da série.
Demonstração
Série convergente Em primeiro lugar, vamos observar a função , com . A função tem a concavidade para cima. Observemos também que é a reta tangente da função no ponto .
Assim, podemos apresentar a desigualdade , e .
Seja e, caso infinito, . Pela definição de limite, existe tal que, para ,
.
Daí, para ,
.
Tendo em vista a desigualdade , temos
, .
Assim, para ,
.
Mas, ,
em que . Assim, para ,
Como a série é convergente, a série também é convergente.
Série divergente Vamos demonstrar que se ou , então a série é divergente.
Como ou , a partir da definição de limite, existe um número tal que, para ,
.
Daí, para ,
,
onde . Como a série é divergente, segue que também é divergente.
Categoria:Testes de convergência