Em matemática, em especial álgebra linear e análise, define-se como funcional, toda função cujo domínio é um espaço vetorial e a imagem é o corpo de escalares. Intuitivamente, pode-se dizer que um funcional é uma "função de uma função"FLORES, Ana Paula Ximenes. Cálculo Variacional: aspectos teóricos e aplicações. Disponível em; <http://www.rc.unesp.br/igce/pos/mestrado_profissional/Arquivos/Dissertacoes/Ana%20Paula%20Ximenes%20Flores.pdf>. Acesso em 9 de julho de 2011. Capítulo 2..
Há autores que exigem que um funcional seja linear por definição, deixando o termo aplicação não-linear para designar tais funcionais não lineares.
A história, no entanto, consagrou o termo funcional de Minkowski para certas funções não lineares definidas em espaços vetoriais topológicos localmente convexos.
Definições formais Seja um espaço vetorial sobre um corpo , então é um funcional qualquer função .
Como este espaço vetorial (domínio de um funcional) geralmente é de funçõesWOLFRAM ALPHA. Functional.Disponível em: <http://mathworld.wolfram.com/Functional.html>. Acesso em: 9 de julho de 2011., há outra definição específica para este caso:
Um funcional J é uma regra de correspondência que associa a cada função "f" em uma certa classe um único número real. O conjunto , o domínio, é uma classe de funções. O conjunto de números reais associados com as funções em é chamado de conjunto imagem do funcional.
Exemplo Considere sobre o corpo dos números reais, onde cada vetor pode ser denotado por . Eis alguns exemplos de funcionais:
é um vetor dado.
Classificação Um funcional é dito funcional linear se for linear, ou seja, se e são escalares:
Um funcional em um espaço vetorial topológico é dito funcional contínuo se for contínuo. Um funcional em um espaço vetorial topológico é dito funcional limitado se sua imagem leva conjuntos limitados em conjuntos limitados. um funcional linear em um espaço vetorial topológico é contínuo se e somente se for limitado.
Ver também Espaço dual Teorema da representação de Riesz
Referências
Categoria:Análise funcional Categoria:Álgebra linear