Em probabilidade, o desvio padrão ou desvio padrão populacional (comumente representado pela letra grega sigma, ) é uma medida de dispersão em torno da média populacional de uma variável aleatória. O termo possui também uma acepção específica no campo da estatística, na qual também é chamado de desvio padrão amostral (comumente representado pela letra latina ) e indica uma medida de dispersão dos dados em torno de média amostral. Um baixo desvio padrão indica que os pontos dos dados tendem a estar próximos da média ou do valor esperado. Um alto desvio padrão indica que os pontos dos dados estão espalhados por uma ampla gama de valores. O desvio padrão populacional ou amostral é a raiz quadrada da variância populacional ou amostral correspondente, de modo a ser uma medida de dispersão que seja um número não negativo e que use a mesma unidade de medida dos dados fornecidos.
Tanto em probabilidade quanto em estatística, o desvio padrão é usado para expressar outros conceitos matemáticos importantes como o coeficiente de correlação, o coeficiente de variação ou a alocação ótima de Neyman, dentre outros. Há também outras medidas de desvio como o desvio médio absoluto, que fornecem propriedades matemáticas diferentes a partir do desvio padrão. O desvio padrão é mais simples, porém mais robusto que o desvio médio absoluto na prática. Além de expressar a variabilidade da população, o desvio padrão comumente é usado para medir a confiança em cálculos estatísticos e geralmente permite sintetizar os resultados de uma experiência repetida várias vezes. Por exemplo, a margem de erro de um conjunto de dados é determinada pelo cálculo do desvio padrão da média ou do desvio padrão populacional inverso da raiz quadrada do tamanho da amostra, se a mesma pesquisa for repetida várias vezes.
Esta derivação do desvio padrão geralmente é chamada de erro padrão da estimativa ou erro padrão da média (em referência à média). O erro padrão da média é calculado a partir do desvio padrão das médias, as quais poderiam ser computadas a partir de uma população se um número infinito de amostras e uma média para cada amostra fossem considerados. A margem de erro de uma pesquisa é calculada a partir do erro padrão da média (produto do desvio padrão populacional e do inverso da raiz quadrada do tamanho da amostra), e cerca do dobro do erro padrão da média é a metade da largura de 95% do intervalo de confiança para a média (populacional).
O desvio padrão é calculado em todas as áreas que usam probabilidade e estatística, em particular biologia, finanças, física e pesquisas em geral. Em ciência, os pesquisadores comumente reportam o desvio padrão dos dados experimentais. Em geral, apenas os efeitos mais de dois desvios padrões distantes do esperado são considerados estatisticamente significativos – por meio de erro aleatório normal ou variação nas medições podem-se distinguir os efeitos prováveis dos efeitos genuínos. Quando apenas uma amostra dos dados da população está disponível, o termo desvio padrão amostral pode referir-se tanto à quantidade mencionada acima quanto a uma quantidade modificada que seja uma estimativa não enviesada do desvio padrão populacional. Quando o desvio padrão populacional não é conhecido, o seu valor é aproximado por meio do desvio padrão amostral.
História O desvio padrão é uma grandeza que remete ao século XIX, no contexto do desenvolvimento da estatística no Reino Unido. Enquanto o conceito de medida de dispersão foi criado por Abraham de Moivre e usado em seu livro The Doctrine of Chances em 1718, o termo desvio padrão foi pontualmente usado pela primeira vez por Karl Pearson em 1894, em substituição a termos anteriores como erro médio, utilizado por Carl Friedrich Gauss. O símbolo também foi utilizado pela primeira vez por Karl Pearson para representar o desvio padrão.
Em 1908, William Gosset (mais conhecido sob o pseudônimo Student) definiu o desvio padrão empírico de uma amostra e mostrou que a distinção entre o desvio padrão amostral e o desvio padrão populacional é importante. Somente em 1918, Ronald Aylmer Fisher definiu a noção da variância no texto The Correlation between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance.
Em probabilidade Definição Seja uma variável aleatória com média e valor esperado . Então, o desvio padrão de pela definição é a raiz quadrada da variância de ou a raiz quadrada do valor médio de
A fórmula foi derivada a partir das propriedades da esperança.
Desvio padrão de uma variável aleatória discreta Quando é uma variável aleatória de um conjunto de dados finito , com cada valor tendo a mesma probabilidade , o desvio padrão é:
,
em que é a esperança da variável , sendo .
Se os valores tiverem probabilidades diferentes em vez de probabilidade iguais (se tiver probabilidade , se tiver probabilidade , ... , se tiver probabilidade ), o desvio padrão é:
,
em que . algoritmo para calcular a variância
Desvio padrão de uma variável aleatória contínua O desvio padrão de uma variável aleatória contínua com função densidade é:
,
em que .
No caso de uma família paramétrica de uma distribuição, o desvio padrão pode ser expresso em termos de parâmetros. Por exemplo, no caso da distribuição log–normal com parâmetros e , com com distribuição normal com parâmetros e , o desvio padrão é .
Desvio padrão de distribuições de probabilidade conhecidas DistribuiçãoParâmetrosDescriçãoDesvio padrãoDistribuição de BernoulliDistribuição discreta de valor 0 com probabilidade e 1 com probabilidade .Distribuição binomial e Distribuição da soma de variáveis independentes de acordo com a distribuição de Bernoulli de parâmetro .Distribuição geométricaDistribuição discreta em , tal que a probabilidade de se obter o número inteiro é .Distribuição uniformeDistribuição uniforme contínua em , cuja densidade é um múltiplo da função indicadora de .Distribuição exponencialDistribuição uniforme contínua com suporte , cuja densidade é a função.Distribuição de PoissonDistribuição em , cuja densidade é a função , em que .Distribuição qui-quadradoDistribuição em , cuja densidade é a função para todo positivo, em que é a função gama.Distribuição gama, e Distribuição de probabilidade contínua, cuja densidade é a função para todo positivo, em que é a função gama.
O desvio padrão de uma distribuição de probabilidade univariada é igual ao desvio padrão de uma variável aleatória com a mesma distribuição. Nem todas as variáveis aleatórias possuem desvio padrão, uma vez que os valores esperados podem não existir. Por exemplo, o desvio padrão de uma variável que segue uma distribuição de Cauchy é indefinido porque seu valor esperado é indefinido.
Propriedades O desvio padrão é sempre positivo ou nulo. O desvio padrão de uma constante é nulo. O desvio padrão de uma variável aleatória à qual foi adicionada uma constante é igual ao desvio padrão da variável aleatória , uma propriedade chamada invariante por translação. O desvio padrão de uma variável multiplicada por uma constante positiva é igual à constante multiplicada pelo desvio padrão da variável, uma propriedade chamada invariante por dilatação, que pode ser resumida como . Propriedades como invariante de dilatação são consequências diretas do teorema de Huygens e das propriedades de valor esperado. O desvio padrão da soma algébrica de duas variáveis é igual a , em que é o coeficiente de correlação entre as duas variáveis e . O desvio padrão segue a desigualdade triangular . Existe igualdade se e somente se existe uma relação linear quase certa entre as duas variáveis . A desigualdade decorre da desigualdade anterior e da desigualdade . A função admite o ponto mínimo . Portanto, assumindo–se no ponto o valor do desvio padrão da variável aleatória .
Usos Em probabilidade, o desvio padrão compara as variáveis ou as suas distribuições.
Variável aleatória centrada reduzida miniaturadaimagem|Exemplos de distribuições assimétricas. Se é uma variável aleatória com desvio padrão não nulo, é possível fazê–la corresponder à variável aleatória centrada reduzida. Duas variáveis aleatórias centradas e reduzidas e são fáceis de comparar, uma vez que e .
O teorema central do limite é o limite de uma sequência de variáveis aleatórias centradas reduzidas, os coeficientes de assimetria e a curtose de uma densidade de probabilidade e são usados para comparar diferentes distribuições.
Coeficiente de correlação miniaturadaimagem|Exemplos de distribuições mais ou menos achatadas. O coeficiente de correlação é outra aplicação do desvio padrão em probabilidade. Se e são duas variáveis aleatórias, o coeficiente de correlação , em que , é a covariância das variáveis aleatórias e . De acordo com a desigualdade de Cauchy–Schwarz , é possível afirmar que assume valores no intervalo . Se , as duas variáveis aleatórias não são correlacionadas. Se , as duas variáveis aleatórias são linearmente dependentes.thumb|300px|Regiões de probabilidade dos intervalos da desigualdade de Chebyschev em uma distribuição simétrica. thumb|300px|Regiões de probabilidade dos intervalos da desigualdade de Chebyschev em uma distribuição assimétrica positiva. thumb|300px|Regiões de probabilidade dos intervalos da desigualdade de Chebyschev em uma distribuição assimétrica negativa.
Desigualdade de Bienaymé–Chebyschev É por meio da desigualdade de Bienaymé–Chebyschev que o desvio padrão aparece como uma medida de dispersão em torno da média. A desigualdade de Bienaymé–Chebyschev afirma que e mostra que a probabilidade de desviar–se de ao longo de desvios padrões é menor ou igual a .
A desigualdade de Chebyschev afirma que, para todas as distribuições para as quais o desvio padrão é definido, o volume de dados dentro de uma quantidade de desvios padrões da média são pelo menos os mesmos que os da tabela a seguir. Distância da médiaPopulação mínima50%75%89%94%96%97%
Em estatística thumb|O desvio padrão é usado para indicar, com barras de erro, a incerteza do posicionamento do centroide de cada grupo da amostra ao longo da direção indicada pela largura das sépalas.
Para uma população finita e relativamente pequena, o cálculo do desvio padrão é puramente algébrico sem referência à probabilidade. A estatística utiliza o desvio padrão empírico definido por .
Em estatística, a população é geralmente muito importante em número (não é possível conhecer todos os valores da população). Entre os recursos utilizados em amostragem e estimativa para avaliar os valores está o desvio padrão.
Interpretação miniaturadaimagem|400x400px|Exemplo de amostras de duas populações com médias iguais e desvios padrões diferentes. A população representada em vermelho tem média 100 e desvio padrão 10. A população representada em azul tem média 100 e desvio padrão 50. Um grande desvio padrão indica que os pontos dos dados estão espalhados longe da média e um pequeno desvio padrão indica que os pontos dos dados estão agrupados perto da média. Por exemplo, cada uma das três populações {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} e {6, 6, 8, 8} possui média 7. Os desvios padrões são 7, 5 e 1, respectivamente. A terceira população tem um desvio padrão menor porque seus valores são próximos de 7.
O desvio padrão tem a mesma unidade dos dados. Um exemplo, o conjunto de dados {0, 6, 8, 14} representa as idades de uma população de quatro irmãos em anos. A média é de 7 anos e o desvio padrão é de 5 anos. Outro exemplo, o conjunto de dados {1000, 1006, 1008, 1014} representa as distâncias percorridas por quatro atletas em metros. A média é de 1007 metros e o desvio padrão é de 5 metros.
O desvio padrão pode servir como medida de incerteza. Em ciências, a precisão de medições repetidas é dada pelo desvio padrão. O desvio padrão é crucial para analisar se as medições batem com a previsão teórica. Se a média das medições estiver muito longe da previsão teórica (distância medida pelo desvio padrão), então a teoria testada provavelmente precisa ser revisada.