Para outros usos, ver Esfera (desambiguação). Para a região delimitada pela superfície, ver Bola (matemática).
Uma esfera é a superfície formada por todos os pontos que ficam à mesma distância de um centro no espaço tridimensional, assim como os pontos de uma circunferência ficam à mesma distância de um centro no plano. Essa distância é o raio.Albert, 2016, p. 54. Uma bola perfeitamente redonda ajuda a imaginá-la, mas, em matemática, a esfera corresponde apenas à superfície, enquanto a bola compreende também seu interior.
As bolhas de sabão em equilíbrio têm forma aproximadamente esférica. Bolas de esporte e pequenas esferas dos rolamentos também a têm e podem rolar em qualquer direção. A forma ainda é usada em vasos de pressão, espelhos esféricos e muitas lentes. Em geografia, a Terra pode ser aproximada por uma esfera em certos cálculos, e a esfera celeste ajuda a localizar objetos na astronomia.
Conhecer o raio permite calcular a área da superfície e o volume que ela delimita. Os círculos traçados sobre a esfera também permitem estudar distâncias e trajetos, enquanto as coordenadas e as noções de curvatura levam a descrições mais detalhadas da mesma forma.
Terminologia e geometria elementar
Centro, raio, diâmetro e bola
miniatura|esquerda|upright=0.9|alt=Dois segmentos coloridos partem do centro da superfície esférica.|Os raios vão do centro à superfície, enquanto o diâmetro mede duas vezes o raio.
O nome vem do latim sphaera, derivado do grego antigo σφαῖρα, sphaîra, que significa "bola".A Greek-English Lexicon, verbete σφαῖρα, de H. G. Liddell e R. Scott. O raio é o segmento que vai do centro a um ponto da superfície, mas o mesmo nome também indica o comprimento desse segmento. Se ele for prolongado pelo centro até o lado oposto, forma um diâmetro, nome dado também ao comprimento . Nenhum outro segmento entre dois pontos da esfera é maior: , e suas extremidades são pontos antípodas.
Ao distinguir a superfície do interior, os matemáticos chamam esfera à superfície fechada bidimensional embutida no espaço euclidiano tridimensional e bola ao sólido que ela delimita. A bola aberta contém os pontos internos e exclui a superfície. A bola fechada inclui a superfície, que é a fronteira do sólido.Se a superfície for pensada como uma casca, a bola aberta contém só o interior, enquanto a fechada contém também a casca. Em textos matemáticos antigos, o sólido também podia receber o nome de esfera. No plano, a diferença entre circunferência e disco é semelhante.
Se um plano toca a esfera em um único ponto, o raio que termina ali é perpendicular a esse plano tangente. Essa direção perpendicular recebe o nome de normal à superfície.
Seções planas e regiões
miniatura|direita|upright=0.85|alt=Um plano corta uma esfera e destaca uma circunferência na interseção.|Uma seção plana que atravessa a esfera pode produzir uma circunferência.
Quando um plano atravessa a esfera, a interseção traça uma circunferência sobre a superfície. Se apenas a toca, há um ponto em comum, e, se passa longe, não há nenhum.Um plano afastado da esfera não tem pontos em comum com ela, enquanto um plano que só a toca tem um. Assim como as circunferências no plano, as traçadas na esfera podem ser definidas por pontos a uma distância fixa de um ponto. Quando o corte passa pelo centro da esfera, a circunferência é um círculo máximo. As demais são círculos menores.
Como o plano do círculo máximo passa pelo centro da esfera, o círculo tem o mesmo centro e raio que ela e a divide em dois hemisférios iguais.O hemisfério é metade da superfície, enquanto a metade correspondente do sólido é uma semibola.
O plano de uma seção pode ainda separar uma calota esférica, a parte da superfície situada de um dos seus lados. Já o fuso esférico fica entre dois semicírculos máximos, e a cunha esférica correspondente abrange também uma parte do interior da bola. Outras regiões e figuras recebem nomes próprios:
miniatura|upright=0.72|alt=Animação de uma esfera em malha girando em torno de um eixo.|O giro de uma circunferência em torno de um diâmetro gera a superfície esférica.
Hemisfério Octante de uma esfera Calota esférica Fuso esférico Polígono esférico Setor esférico Segmento esférico Cunha esférica Zona esférica
Construção por rotação
Gire uma circunferência por meia volta em torno de um de seus diâmetros e sua trajetória formará uma esfera, ideia próxima da definição dos Elementos de Euclides. Como a circunferência é um caso particular da elipse, a esfera também é um caso particular do elipsoide de revolução. O giro de uma elipse em torno do eixo maior produz um esferoide prolato, enquanto o giro em torno do eixo menor produz um esferoide oblato.O prolato é alongado na direção de seu eixo de rotação, e o oblato é achatado nessa direção.Albert, 2016, p. 60.
Equações e coordenadas
Para escrever equações mais simples, costuma-se colocar o centro da esfera na origemA origem é o encontro dos três eixos coordenados, onde as coordenadas são . de um sistema de coordenadas. Também é comum tomar o raio como uma unidade, , dando à esfera o nome de esfera unitária. Salvo indicação em contrário, as esferas deste artigo estão centradas na origem.
Equação cartesiana
miniatura|direita|upright=1.0|alt=Três esquemas com eixos cartesianos, coordenadas esféricas e coordenadas cilíndricas.|Três coordenadas localizam cada ponto, e a distância ao centro decide se ele está na esfera.
Na geometria analítica, as coordenadas permitem testar se um ponto pertence à esfera. Para isso, toma-se um centro , um raio e um ponto qualquer . A distância entre o ponto e o centro deve ser igual ao raio, condição expressa por
A soma dos três quadrados dá o quadrado da distância entre e o centro, que deve ser igual a .
Com o centro na origem, a condição fica . O sinal de igualdade seleciona os pontos da superfície. A desigualdade seleciona os pontos internos, e acrescenta a superfície.
Se o centro for e o raio for , a equação será . O ponto satisfaz a igualdade e está na superfície. O centro fica no interior da bola.
Os termos elevados ao quadrado fazem dessa equação um polinômio de segundo grau. Na classificação das superfícies, a esfera é uma quádrica e uma superfície algébrica.
Equação paramétrica
miniatura|esquerda|upright=0.82|alt=Diagrama com raio e dois ângulos sobre uma esfera em eixos tridimensionais.|Nas coordenadas esféricas, variar os dois ângulos com o raio fixo percorre a superfície.
Em vez de testar um ponto por suas três coordenadas, podemos percorrer a superfície variando dois ângulos e mantendo fixo o raio . Para uma esfera de centro , as funções trigonométricas dão as coordenadas de cada ponto:Kreyszig, 1972, p. 342.
Nessa convenção do sistema esférico de coordenadas, é medido a partir do eixo positivo e , no plano . O raio permanece constante, enquanto vai de 0 a e , de 0 a .Variar de 0 a e ao longo de uma volta de radianos permite alcançar toda a superfície. Se ficar fixo e variar, o ponto traça uma circunferência paralela ao equador. Os símbolos usados para os dois ângulos podem variar de uma fonte para outra.
Área e volume
Ao medir uma esfera, a área corresponde à superfície e o volume corresponde ao espaço ocupado pela bola em seu interior. Basta conhecer o raio para calcular as duas grandezas.
Volume delimitado
miniatura|direita|upright=0.85|alt=Uma esfera inscrita em um cilindro de igual altura e diâmetro.|Arquimedes comparou a esfera ao cilindro circunscrito para obter seu volume.
Para achar o volume da bola, pode-se usar o raio ou o diâmetro . As duas formas da expressão abaixo dão o espaço contido pela esfera:
O expoente três acompanha a unidade de medida: se o raio está em metros, o volume está em metros cúbicos.Multiplicar três comprimentos medidos em metros produz um volume em metros cúbicos. Em Sobre a Esfera e o Cilindro, por volta de 225 a.C., Arquimedes chegou à fórmula comparando a bola com o cilindro circunscrito de mesma altura e diâmetro. O volume da bola é o dobro do volume da região entre sua superfície e a do cilindro.Steinhaus, 1969, p. 223. Pode-se chegar ao mesmo resultado inscrevendo um cone invertido numa semiesfera: a soma das áreas das seções transversais do cone e da semiesfera iguala a área da seção do cilindro. O princípio de Cavalieri permite comparar os volumes.
Também é possível imaginar a bola como uma pilha de discos circulares cada vez mais finos, distribuídos ao longo do eixo de a . O cálculo integral soma os volumes dessas fatias pelo método da integração por discos.À medida que as fatias ficam mais finas, a soma de seus volumes se aproxima do volume da bola.
Se uma bola couber exatamente dentro de um cubo, seu diâmetro será igual à aresta do cubo. Pela fórmula , ela ocupa , cerca de 52,4%, do volume do cubo. Com diâmetro e aresta de 1 m, o volume da bola fica em aproximadamente 0,524 m³.
Demonstração do volume por integração
miniatura|esquerda|upright=0.82|alt=Esfera com uma seção circular vermelha perpendicular ao eixo horizontal, marcada A de x.|A integração soma discos de área variável ao longo de um diâmetro. Em uma posição , o acréscimo de volume é aproximadamente a área da seção circular multiplicada pela espessura :
A soma desses acréscimos aproxima o volume total:
Quando tende a zero, obtém-se
O símbolo de integral reúne as áreas dos discos entre as posições e ao longo do eixo .
O raio, a posição da fatia e seu raio formam um triângulo retângulo. Pelo teorema de Pitágoras, . Substituindo essa relação na integral e calculando-a, chega-se a
Se as fatias forem organizadas pelas coordenadas esféricas, cada pequeno elemento de volume será dado por
Somar esses elementos para todos os raios e ângulos dá
Área da superfície
miniatura|direita|upright=0.7|alt=Parte superior de uma esfera acima de um plano, com a altura h marcada.|A área da calota depende de sua altura e do raio da esfera: .
Para calcular a área da superfície, basta elevar o raio ao quadrado e multiplicar por :
Para uma calota esférica de altura , a área da parte curva é .A altura é medida do plano que corta a esfera até o ponto mais alto da calota.
Arquimedes chegou à fórmula ao comparar a esfera com a superfície lateral do cilindro circunscrito: projetar uma sobre a outra preserva a área.Steinhaus, 1969, p. 221. Outra maneira de entendê-la é dividir a bola em cascas esféricas concêntricas cada vez mais finas, desde o centro até o raio .Concêntricas quer dizer que todas as cascas têm o mesmo centro, como camadas encaixadas umas dentro das outras. O volume de cada casca se aproxima do produto de sua área pela espessura, e a fórmula da área surge como derivada da expressão do volume em relação ao raio.
Demonstração da área por integração
miniatura|esquerda|upright=0.72|alt=Diagrama de uma esfera dividida por linhas associadas a coordenadas esféricas.|O elemento de área em coordenadas esféricas permite obter por integração. Tomando como variável,Nesta demonstração, o raio é considerado variável. o acréscimo de volume é aproximadamente o produto da área pela espessura da casca:
Ao reunir os volumes de todas essas cascas, temos uma aproximação do volume total:
Quando as cascas se tornam infinitamente finas e tende a zero, a soma passa a ser escrita como integral:
Usando a fórmula conhecida e derivando os dois lados da igualdade em relação a , obtemos a área:
Concluído o cálculo, volta a ser o raio fixo da esfera e a expressão fica .
Se a superfície for dividida em pequenas regiões pelas coordenadas esféricas, cada elemento de área será . A soma das áreas também leva a
Propriedade isoperimétrica e superfície específica
miniatura|direita|upright=0.75|alt=Fotografia de uma bolha de sabão quase esférica.|A tensão superficial tende a reduzir a área de uma bolha que delimita certo volume.