Associatividade, em propriedade binária permite que expressões do tipo r s t possam ser escritas sem ambiguidade, ou seja, uma expressão r s t dá o mesmo resultado caso a operação que seja, em primeiro lugar, computada seja r s ou s t.G. A. Miller, What is Group Theory?, publicado em Popular Science, edição de fevereiro de 1904, p.371 [google groups]
A associatividade é uma das três propriedades que definem um grupo, as demais sendo a lei do cancelamento (ou seja, se r s = t s ou se s r = s t, então r = t), e a propriedade de que se na equação x y = z dois elementos são fixos, então existe um terceiro que a satisfaz.Estas três propriedades, usadas por Miller em 1904, são equivalentes às propriedades usuais adotadas nos livros mais modernos: associatividade, elemento neutro e elemento inverso.
É comum utilizar-se parentêses para separar a ordem das operações, por exemplo:
De uma forma mais abstrata a associatividade está relacionada com a composição de funções em um conjunto. Quando colocada desta forma a propriedade de associatividade deixa de ser algo óbvio.
Definição Seja S um conjunto e f uma operação binária neste conjunto. Dizemos que f é uma operação associativa se:
Note que é importante que f seja uma operação binária, para que o resultado de f(x,y) ainda pertença a S
Exemplos A adição e multiplicação de números reais:
A multiplicação de matrizes é associativa. As funções de máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum são associativas:
O produto vetorial não é associativo: i x (i x j) = i x k = -j, mas (i x i) x j = 0.
Categoria:Operações binárias