miniatura|275px|Placa indicando distâncias perto de Visagapatão, na Índia.
Distância é uma medida numérica ou, em certos casos, qualitativa de quanto objetos, pontos, pessoas ou ideias estão separados. Na física e no uso cotidiano, pode indicar um comprimento físico ou uma estimativa baseada em outro critério, como na expressão "a dois condados de distância". O termo também é empregado em sentido metafórico para medir o grau de diferença entre objetos semelhantes, como a distância estatística entre distribuições de probabilidade ou a distância de edição entre cadeias de caracteres, e o grau de separação, como na distância entre pessoas em uma rede social. Grande parte dessas noções de distância, físicas ou metafóricas, é formalizada na matemática por meio do conceito de espaço métrico.
Nas ciências sociais, distância pode designar uma medida qualitativa de separação, como a distância social ou a distância psicológica.
Distâncias na física e na geometria
A distância entre locais físicos pode ser definida de maneiras diferentes conforme o problema considerado.
Distância em linha reta ou euclidiana
miniatura|275px|Representação da distância entre dois pontos medida com uma régua.
Em um modelo euclidiano do espaço físico, a distância entre dois pontos é o comprimento do segmento de reta que os une, o caminho mais curto possível entre eles. Essa é a acepção usual de distância na física clássica, inclusive na mecânica newtoniana.
A distância em linha reta é formalizada matematicamente como a distância euclidiana no plano euclidiano e no espaço tridimensional. Na geometria euclidiana, a distância entre dois pontos e é frequentemente indicada por . Na geometria analítica, a distância euclidiana é calculada com o teorema de Pitágoras. Em coordenadas cartesianas com eixos ortogonais e a mesma unidade de comprimento, a distância entre os pontos e no plano é dada por:
De modo semelhante, dados os pontos e no espaço tridimensional, a distância entre eles é:
A mesma ideia se estende a espaços euclidianos de dimensão mais alta.
Em uma única dimensão, se os pontos e têm coordenadas reais e , sua distância é
Distâncias a retas e planos
A distância de um ponto a uma reta ou a um plano é a menor distância entre o ponto e qualquer ponto desse objeto geométrico. Na geometria euclidiana, ela é medida ao longo do segmento perpendicular quando o ponto não pertence à reta ou ao plano. Se pertence, a distância é zero.
No plano, dado um ponto e uma reta
com e não simultaneamente nulos, a distância de a é
No espaço tridimensional, se a reta passa pelo ponto de vetor posição e tem vetor diretor não nulo ,
a distância de um ponto de vetor posição até a reta é
em que denota o produto vetorial e é a norma euclidiana.
Para um ponto e um plano
com , e não simultaneamente nulos, a distância de a é
As mesmas expressões permitem obter fórmulas para objetos paralelos. Para duas retas paralelas no plano, escritas com os mesmos coeficientes e ,
e
com , a distância é
Para dois planos paralelos, escritos com o mesmo vetor normal não nulo ,
e
tem-se
No espaço tridimensional, duas retas reversas não são paralelas nem se intersectam. Se
e
com e vetores diretores e não paralelos, a distância entre elas é
em que é o produto escalar. Para retas reversas, essa distância corresponde ao comprimento do segmento perpendicular às duas retas. A fórmula também vale para retas concorrentes e, nesse caso, resulta em zero.
Medição
A distância em linha reta pode ser medida diretamente com uma régua ou indiretamente com radar. A interferometria permite medições precisas de comprimentos e deslocamentos. No Sistema Internacional de Unidades, o comprimento é uma grandeza de base e sua unidade é o metro, símbolo m. A escala de distâncias cósmicas reúne métodos empregados para medir distâncias astronômicas muito grandes.
Distância do caminho mais curto sobre uma superfície curva miniatura|400px|Esquema de rotas aéreas entre São Francisco e Tóquio. Acima, a rota acompanha aproximadamente um círculo máximo. Abaixo, a rota para leste aproveita a corrente de jato. A projeção cartográfica faz com que o caminho mais curto sobre a superfície esférica não apareça como uma linha reta neste mapa.
Para deslocamentos entre pontos da superfície da Terra, costuma interessar o caminho mais curto sobre a superfície, sem considerar obstáculos. O segmento de reta entre esses pontos pode passar pelo interior da Terra, inclusive pelo manto terrestre, conforme a separação entre eles. Em uma aproximação esférica da Terra, a distância sobre a superfície é dada pelo comprimento do menor arco de círculo máximo, chamado distância de grande círculo. Em cálculos geodésicos mais precisos, a Terra é aproximada por um elipsoide de referência, e a distância é obtida pela geodésica de menor comprimento sobre esse elipsoide.
Em uma superfície curva, uma geodésica generaliza a ideia de linha reta. Quando uma geodésica é o caminho de menor comprimento entre dois pontos, o comprimento de seu arco é a distância medida ao longo da superfície. Esse é, por exemplo, o conceito de distância adequado a uma formiga ou outra criatura cujo movimento esteja restrito à superfície.
Efeitos da relatividade
Na teoria da relatividade, fenômenos como a contração do comprimento e a relatividade da simultaneidade fazem com que distâncias medidas entre objetos dependam da escolha do referencial inercial. Para medir o comprimento de um objeto em movimento, as posições de suas extremidades devem ser determinadas simultaneamente no referencial adotado.
Em escalas cosmológicas, a interpretação das distâncias precisa levar em conta a expansão do Universo. A cosmologia emprega definições distintas, como distância comóvel, distância de diâmetro angular e distância de luminosidade. Isso não significa que o tamanho das galáxias ou de sistemas menores ligados pela gravidade acompanhe a expansão cosmológica.
Outras distâncias espaciais miniatura|200px|Distância de Manhattan, em vermelho, azul e amarelo, comparada à distância euclidiana, em verde, sobre uma grade. Pelo teorema de Pitágoras, , enquanto a distância de Manhattan é .
Definições menos usuais de distância podem modelar determinadas situações físicas e são usadas na matemática teórica: Em deslocamentos por ruas, pode interessar a distância percorrida entre dois pontos, e não a distância em linha reta. Em uma planta ortogonal ideal, sem obstáculos ou restrições de circulação, o percurso mínimo entre esquinas é dado pela distância de Manhattan, a soma dos deslocamentos absolutos nas duas direções perpendiculares. Se os quarteirões forem quadrados e de mesmo tamanho, essa distância pode ser expressa pelo número mínimo de quarteirões percorridos. A distância de Chebyshev, também chamada distância de tabuleiro de xadrez, é o número mínimo de movimentos que um rei precisa fazer em um tabuleiro de xadrez vazio para ir de uma casa a outra, sem considerar restrições de xeque.
miniatura|400px|Curvas unitárias para diferentes valores de . Para , a métrica é a distância de Manhattan. Para , é a distância euclidiana. No limite , obtém-se a distância de Chebyshev. A curva com não corresponde a uma norma.
Em , essas distâncias fazem parte da família das distâncias de Minkowski, induzidas pelas -normas. Para , a distância entre e é
Quando , obtém-se a distância de Manhattan, e quando , a distância euclidiana. Para e , a mesma fórmula não define uma métrica, pois a desigualdade triangular não é satisfeita em geral. No limite , a distância é
a distância de Chebyshev.
Distâncias metafóricas
Noções abstratas de distância empregadas na matemática, nas ciências e na engenharia podem representar o grau de diferença ou separação entre objetos semelhantes.
Distâncias estatísticas
Na estatística e na geometria da informação, as distâncias estatísticas medem o grau de diferença entre duas distribuições de probabilidade. Muitas dessas medidas são formalizadas como divergências, que não precisam satisfazer os axiomas de uma métrica. Famílias parametrizadas regulares de distribuições podem ser estudadas geometricamente como variedades estatísticas.
Um exemplo elementar é a divergência euclidiana quadrática , também chamada distância euclidiana ao quadrado. Essa função não satisfaz, em geral, a desigualdade triangular e não é uma métrica. Ela é uma divergência de Bregman, e a minimização de somas de desvios quadráticos dá origem ao método dos mínimos quadrados.
Na teoria da informação, usa-se a entropia relativa, ou divergência de Kullback-Leibler. No simplexo das distribuições de probabilidade sobre um alfabeto finito com pelo menos dois elementos, ela é, a menos de um fator multiplicativo positivo, a única divergência não nula que pertence simultaneamente à classe das f-divergências e à classe das divergências de Bregman.
Para um potencial suave com matriz hessiana positiva definida, a divergência de Bregman induz uma geometria com duas conexões afins duais e planas. Nessa geometria existe uma forma generalizada do teorema de Pitágoras, usada em problemas de projeção e otimização.
Entre outras distâncias estatísticas estão a distância de Mahalanobis e a distância energética.
Distâncias de edição
Na ciência da computação, distâncias de edição, métricas de cadeias e outras medidas de dissimilaridade entre cadeias de caracteres quantificam o quanto elas diferem. Por exemplo, na distância de Levenshtein com custo unitário para cada edição, as palavras "dog" e "dot", que diferem por apenas uma letra, estão mais próximas entre si do que "dog" e "cat". Essas medidas são usadas em corretores ortográficos, comparação aproximada de texto e teoria de códigos.
Entre elas estão a distância de Levenshtein, a distância de Hamming, a distância de Lee e a distância de Jaro-Winkler. Apesar do nome, a distância de Jaro-Winkler não é uma métrica no sentido matemático, pois não satisfaz em geral a desigualdade triangular.
Distância na teoria dos grafos
Em um grafo não direcionado e sem pesos, a distância entre dois vértices é o número de arestas do caminho mais curto entre eles. Se não existir um caminho que os una, convenciona-se que a distância é infinita. Em um grafo conexo, essa distância define uma métrica sobre os vértices.
Se o grafo representar uma rede social, a teoria dos seis graus de separação corresponde à hipótese de que pessoas podem ser ligadas por caminhos curtos de relações pessoais, tradicionalmente expressos como seis graus de separação. O número de Erdős e o número de Bacon, que contam quantas relações de colaboração separam uma pessoa do matemático Paul Erdős e do ator Kevin Bacon, respectivamente, também são distâncias em grafos cujas arestas representam colaborações matemáticas ou artísticas.
Nas ciências sociais
Na psicologia, na geografia humana e nas ciências sociais, a distância pode ser entendida como uma descrição qualitativa de uma experiência subjetiva, sem exigir uma medição numérica objetiva. A distância psicológica, por exemplo, reúne maneiras pelas quais um objeto pode estar afastado do próprio indivíduo em dimensões como tempo, espaço, distância social e hipoteticidade. Na sociologia, a distância social expressa a separação entre indivíduos ou grupos sociais na sociedade em dimensões como classe social, raça ou etnia, gênero e sexualidade.
Formalização matemática
miniatura|Animação da função para diferentes valores de . Ela é uma norma quando .
Grande parte das noções de distância entre dois pontos ou objetos pode ser formulada por meio de uma métrica. Uma métrica, ou função distância, é uma função que associa pares de pontos ou objetos a números reais e satisfaz as condições abaixo. A distância de um objeto a ele mesmo é sempre zero. A distância entre objetos distintos é sempre positiva. A distância é simétrica. A distância de a é sempre igual à distância de a .