A matemática financeira utiliza uma série de conceitos matemáticos aplicados à análise de dados financeiros em geral.“Matemática Financeira é a disciplina que tem por objetivo o estudo da evolução do valor do dinheiro ao longo do tempo. Esse estudo é com posto de equações matemáticas que expressam, principalmente, a relação entre o valor de uma quantia em dinheiro no presente e o seu valor equivalente no futuro. De uma form a prática, a Matemática Financeira visa ao cálculo dos rendimentos dos em préstim os e de sua rentabilidade.” —Matemática financeira: fundamentos e aplicações – Dal Zot, Wili Castro, Manuela Longoni. Os problemas clássicos de matemática financeira são ligados a questão do valor do dinheiro no tempo (juro e inflação) e como isso é aplicado a empréstimos, investimentos e avaliação financeira de projetos. E esses conceitos, comuns nos livros didáticos de matemática, propõem e reforçam comportamentos financeiros ligados ao consumo quando trabalham o conteúdo com questões e exemplos relativos ao tema.
O tema também pode de ser aplicado a precificação de ações e de derivativos, mas esse tipo de aplicação não é tratada neste artigo.
Conceitos Principal, Capital ou Valor Presente: Valor que está sendo emprestado ou investido. Juro: Compensação paga pelo tomador do empréstimo (ou receptor do investimento) para ter o direito de usar o dinheiro até o dia do pagamento. Pode ser expresso em valor monetário ($) ou como uma taxa de juro (%). Saldo: É a soma do Principal com o Juro em um determinado momento. Parcela ou Pagamento: Valor pago pelo tomador do empréstimo (ou receptor do investimento).
Juros compostos
Em geral, os problemas tratados pela matemática financeira consideram o regime de juros compostos ao invés de juros simples. Nesse regime, a fórmula usada é :
ou, invertendo os termos,
onde Valor Futuro (do inglês Future Value) Valor Presente (do inglês Present Value) Taxa de juros (do inglês Interest Rate) Número de períodos
Fórmulas e aplicações Número fixo de pagamentos de mesmo valor thumb|Fluxo financeiro de um investimento (PV) com número fixo (n) de pagamentos de mesmo valor (pmt) Esse pode ser o caso de financiamento de um bem de consumo, como o exemplo descrito na seção Exemplo de aplicação acima.
O valor de cada parcela (ou pagamento periódico) pode ser considerado como o Valor Futuro () relativo a essa parcela. Portanto, a parcela do 3º mês, por exemplo, pode ser trazida a Valor Presente através da seguinte fórmula:
Nesse caso, o Valor Presente () total é a soma dos "Valores Presentes" de todas as parcelas:
Esse somatório representa a soma de uma progressão geométrica porque cada parcela é o resultado da parcela anterior multiplicado por um valor constante a cada período que passa. Nesse caso, trata-se de uma progressão geométrica de valor inicial e razão (a ser multiplicada pelo termo anterior) . Assim, aplicando a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica , chega-se em:
simplificando os termos, chega-se em:
ou, invertendo os termos,
Esse exemplo considera que o primeiro pagamento ocorre 1 período depois do primeiro fluxo. Ou seja, entre e existe um período. Caso o primeiro pagamento ocorra no período 0 (zero) ou depois de 1 período, a fórmula precisa ser adaptada.
Número infinito de pagamentos de mesmo valor thumb|Fluxo financeiro de um investimento (PV) com número infinito de pagamentos de mesmo valor (pmt) Da mesma forma como o exemplo anterior, o Valor Presente () total é a soma dos "Valores Presentes" de todas as parcelas, porém, considerando Aplicando a fórmula da soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica , chega-se a:
simplificando os termos, chega-se em:
Pagamentos não periódicos ou de valores diferentes Nesses casos, não é possível chegarmos em uma fórmula genérica simples para o Valor Presente . É necessário somar o Valor Presente de cada pagamento descontando cada parcela pelo prazo correspondente. No caso dos pagamentos terem uma periodicidade constante, pode-se usar a fórmula comumente chamada de Valor Presente Líquido (ou do inglês Net Present Value): onde é o Fluxo de Caixa (do inglês Cash Flow) no período
Avaliação financeira de projetos Projetos de investimento, como a abertura de uma loja, compra de uma máquina ou construção de uma estrada requerem um investimento financeiro inicial e é esperado que gerem resultado financeiro positivo ao longo do tempo. A matemática financeira ajuda a avaliar se o resultado esperado compensará o investimento inicial.
Nesses casos, costuma-se usar uma notação um pouco diferente da que foi usada nesse artigo até aqui: ou Fluxo de Caixa (Cash Flow em inglês). Valor monetário esperado em determinado período. Pode ser interpretado como o resultado financeiro (lucro) trazido pelo projeto em determinado mês ou ano. ou Costuma ser usado para identificar o Investimento Inicial, que é feito no momento 0 (zero). Valor monetário a ser investido no projeto ao iniciá-lo. Normalmente é um valor negativo, caracterizando-o como uma despesa. ou Valor presente líquido (Net Present Value em inglês). Soma do investimento inicial com os demais fluxos de caixa trazidos a valor presente.
A taxa de juros () a ser usada no cálculo do valor presente líquido para avaliação de projetos é a taxa mínima de atratividade (TMA), que é a taxa de juros que representa o mínimo que o investidor se propõe a ganhar ao fazer o investimento.
Indicadores usados na avaliação financeira de projetos:
Payback: Tempo decorrido entre o investimento inicial e o momento no qual o lucro líquido acumulado se iguala ao valor desse investimento.
Taxa Interna de Retorno — TIR ou IRR (do inglês Internal Rate of Return): Valor da taxa de juro para que seja igual a 0 (zero).
Ver também Mercado de capitais Renda fixa
Ligações externas
Calculadora Financeira On-line- Versão on-line das principais fórmulas financeiras do Excel e OpenOffice Calc. Calculadora de Amortização- Calcula o pagamento dos juros e do principal bem como o acumulado dos juros e pagamentos. Calculadora HP-12C Virtual Calculadora de juros compostos
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