Теорема Майерса — классическая теорема в римановой геометрии.
Формулировка
Если кривизна Риччи полного -мерного риманова многообразия ограничена снизу положительной величиной при некотором , то его диаметр не превосходит . Более того, если диаметр равен , то само многообразие изометрично сфере постоянной секционной кривизны .
Следствия
Этот результат остается в силе для универсального накрытия такого риманова многообразия . В частности, универсальное накрытие конеченолистно и значит фундаментальная группа конечна.
История
Для двумерных поверхностей, теорема была доказана Хопфом и РиновымHopf, H.; Rinow, W.; Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche. (German) Comment. Math. Helv. 3 (1931), no. 1, 209–225..
Теорема иногда называется в честь Оссиана Бонне из-за другого его результата о классификации поверхностей с положительной Гаусовой кривизныBonnet, Ossian. "Sur quelques propriétés des lignes géodésiques." CR Acad. Sci. Paris 40 (1855): 1311-1313 (этот результат не относится напрямую к утверждению теоремы Майерса).
Теорема доказана .
Случай равенства в теореме был доказан Ченгом в 1975 году.
См. также Теорема Громова о компактности (Риманова геометрия)
Примечания
Категория:Теоремы дифференциальной геометрии