Правильные четырёхмерные многогранники являются четырёхмерными аналогами правильных многогранников в трёхмерном пространстве и правильных многоугольников на плоскости.
Правильные 4-мерные многогранники впервые были описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19-го века, хотя полное множество было открыто много позже.
Существует шесть выпуклых и десять звёздчатых правильных 4-мерных многогранников, в общей сумме шестнадцать.
История
Выпуклые 4-мерные многогранники впервые были описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19-го века. Шлефли обнаружил, что существует ровно шесть таких тел.
Шлефли нашёл также четыре правильных звёздчатых 4-мерных многогранника , , и большой великий звёздчатый стодвадцатиячейник. Он пропустил оставшиеся шесть, поскольку он не разрешал нарушения эйлеровой характеристики на ячейках или вершинных фигурах (F − E + V = 2). Это исключает ячейки и вершинные фигуры, такие как {5,5/2} и {5/2,5}.
Эдмунд Гесс (1843–1903) опубликовал полный список в своей книге на немецком Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder (Введение в учение о делении поверхности шара с особым учётом его применения в теории равногранных и равноугольных многогранников) в 1883.
Построение Существование правильного 4-мерного многогранника ограничено существованием правильных (3-мерных) многогранников , которые образуют его ячейки и ограничивают двугранный угол
чтобы ячейки представляли собой замкнутые 3-мерные поверхности.
Шесть выпуклых и десять звёздчатых многогранников, описываемых здесь, авляются единственными решениями, удовлетворяющими ограничениям.
Существует четыре невыпуклых символа Шлефли {p,q,r}, имеющие допустимые ячейки {p,q} и вершинные фигуры {q,r}, которые проходят тест на диэдральный угол, но которые не дают конечные фигуры — {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}.
Правильные выпуклые 4-мерные многогранники Правильные выпуклые 4-мерные многогранники являются четырёхмерными аналогами платоновых тел в трёхмерном пространстве и выпуклых правильных многоугольников в двумерном.
Пять из них можно понимать как близкие аналоги платоновых тел. Существует одна дополнительная фигура, двадцатичетырёхъячейник, которая не имеет близкого трёхмерного эквивалента.
Каждый выпуклый правильный 4-мерный многогранник ограничен множеством 3-мерных , которые являются платоновыми телами одного типа и размера. Ячейки соприкасаются друг с другом по граням, образуя правильную структуру.
Свойства Следующие таблицы перечисляют некоторые свойства шести выпуклых правильных 4-мерных многогранников. Группы симметрии этих 4-мерных многогранников все являются группами Коксетера и даны в данной статье. Число, следующее за названием группы, равно порядку группы.
ИменаРисунок Семейство ШлефлиКоксетер Вершин Рёбра Грани Верш.фигура Двой-ственный Группа симметрии пятиячейникпятигранник4-симплекс n-симплекс(Семейство An) {3,3,3} 5 10 10{3} 5{3,3} {3,3} (самодвой-ственный) A4[3,3,3] 120 восьмиячейниктессеракт4-куб n-куб(Семейство Bn) {4,3,3} 16 32 24{4} 8{4,3} {3,3} 16-ячейник B4[4,3,3] 384 шестнадцатиячейник4-ортоплекс n-ортоплекс(Семейство Bn) {3,3,4} 8 24 32{3} 16{3,3} {3,4} 8-ячейник B4[4,3,3] 384 двадцатичетырёхъячейникоктаплексполиоктаэдр (pO) Семейство Fn {3,4,3} 24 96 96{3} 24{3,4} {4,3} (самодвой-ственный) F4[3,4,3] 1152 стодвадцатиячейникдодекаконтихорондодекаплексполидодекаэдр (pD) n-пятиугольный многогранник(Семейство Hn) {5,3,3} 600 1200 720{5} 120{5,3} {3,3} 600-ячейник H4[5,3,3] 14400 шестисотъячейниктетраплексполитетраэдр (pT) n-пятиугольный многогранник(Семейство Hn) {3,3,5} 120 720 1200{3} 600{3,3} {3,5} 120-ячейник H4[5,3,3] 14400
Джон Конвей является сторонником имён симплекс, ортоплекс, тессеракт, октаплекс или полиоктаэдр (pO), додекаплекс или полидодекаэдр (pD) и тетраплекс или политетраэдр (pT) .
Норман Джонсон является сторонником имён n-ячейник или пентахорон, тессеракт или октахорон, гексадекахорон, икоситетрахорон, гекатоникосаэдр (или додекаконтахорон) и гексакосихорон.Джонсон предложил также термин полихорон для названия 4-мерных многогранников как аналог трёхмерных многогранников (polyhedron) и двумерных многоугольников (polygon) как производная от греческих слов πολύ ("много") и χώρος ("пространство", "помещение")Johnson (2015), Chapter 11, Section 11.5 Spherical Coxeter groups
Характеристика Эйлера для всех 4-мерных многогранников равна нулю. Имеется 4-мерный аналог формулы Эйлера для многогранников:
где Nk означает число k-граней в многограннике (вершина является 0-гранью, ребро является 1-гранью, и т.д.).
Визуализация Следующая таблица показывает некоторые 2-мерные проекции 4-мерных многогранников. Различные другие визуализации можно найти во внешних ссылках. Графы диаграмм Коксетера — Дынкина также даны ниже символа Шлефли.
A4 = [3,3,3] BC4 = [4,3,3] F4 = [3,4,3] H4 = [5,3,3] Пятиячейник 8-ячейник 16-ячейник 24-ячейник 120-ячейник 600-ячейник {3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}3-мерные ортографические проекции тетраэдральнаяоболочка(центрировано по ячейке/вершине) кубическаяоболочка(центрировано по ячейке) кубическаяоболочка(центрировано по ячейке) кубооктаэдральная оболочка(центрировано по ячейке) (центрировано по ячейке) (центрировано по ячейке)Каркасы диаграмм Шлегеля (Перспективная проекция) центрировано по ячейке центрировано по ячейке центрировано по ячейке центрировано по ячейке центрировано по ячейке центрировано по вершинеКаркасы стереографических проекций (3-сфера)
Правильные звёздчатые 4-мерные многогранники (Шлефли–Гесса)
Четырёхмерные многогранники Шлефли–Гесса — полный список десяти правильных самопересекающихся звёздчатых четырёхмерных многогранников Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f(α,β,γ) p. 122 2. The Schläfli-Hess polytopes. Многогранники названы по именам открывателей — Людвига Шлефли и Эдмунда Гесса. Каждый многогранник представлен символом Шлефли {p,q,r}, в котором одно из чисел — 5/2. Многогранники аналогичны правильным невыпуклым многогранникам Кеплера — Пуансо.
Имена
Имена, приведённые здесь, даны Джоном Конвеем и расширяют имена Кэли для многогранников Кеплера — Пуансо — к модификаторам stellated (звёздчатый) и great (большой) он добавил grand (великий). Конвей определил следующие операции: stellation (образование звёздчатой формы) заменяет рёбра на более длинные на тех же прямых. (Пример — пятиугольник преобразуется в пентаграмму) greatening (увеличение) заменяет грани на грани большего размера на тех же плоскостях. (Пример — икосаэдр увеличивается в большой икосаэдр) aggrandizement (возвеличивание) заменяет ячейки большими в тех же 3-мерных пространствах. (Пример — 600-cell возвеличивается в )
Имена по Конвею для 10 форм из 3 4-мерных многогранников с правильными ячейками — pT=polytetrahedron (политетраэдр) {3,3,5} (тетраэдральный шестисотячейник), pI=polyicoshedron (полиикосаэдр) {3,5,5/2} () и pD=polydodecahedron (полидодекаэдр) {5,3,3} (додекаэдральный стодвадцатиячейник) с модифицирующими приставками g, a и s для great (большой), grand (великий) и stellated (звёздчатый). Конечная звёздчатая форма, great grand stellated polydodecahedron (большой великий звёздчатый полидодекаэдр), тогда получит обозначение gaspD.
Симметрия Все десять полихоров имеют [3,3,5] (H4) . Они генерируются шестью связанными группами симметрии рационального порядка тетраэдров Гурса — [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5,5/2], [5,5/2,3] и [3,3,5/2].
Каждая группа имеет 2 правильных звёздчатых многогранников, за исключением двух самодвойственных групп, содержащих по одному многограннику. Таким образом, имеется 4 двойственные пары и 2 самодвойственные формы среди десяти правильных звёздчатых многогранников.
Свойства Примечание: Существует два уникальных , встречающихся в стодвадцатиячейнике и шестисотъячейнике. Существует четыре уникальных , которые показаны как каркасы ортографических проекций. Существует семь уникальных , показанные как тела (с цветными гранями) ортографических проекций.
Ячейки (3-мерные многогранники), их грани (многоугольники), многоугольные и многогранная вершинные фигуры представлены их символами Шлефли.
НазваниеАббревиатураКонвея Ортогональнаяпроекция ШлефлиКоксетер {p, q} Грани{p} Рёбра{r} Вершины{q, r} χ полиикосаэдр (pI) {3,5,5/2} 120{3,5} 1200{3} 720{5/2} 120{5,5/2} 4 480 звёздчатыйполидодекаэдр (spD) {5/2,5,3} 120{5/2,5} 720{5/2} 1200{3} 120{5,3} 4 −480 большойполидодекаэдр (gpD) {5,5/2,5} 120{5,5/2} 720{5} 720{5} 120{5/2,5} 6 0 великийполидодекаэдр (apD) {5,3,5/2} 120{5,3} 720{5} 720{5/2} 120{3,5/2} 20 0 большой звёздчатыйполидодекаэдр (gspD) {5/2,3,5} 120{5/2,3} 720{5/2} 720{5} 120{3,5} 20 0 большой звёздчатыйполидодекаэдр (aspD) {5/2,5,5/2} 120{5/2,5} 720{5/2} 720{5/2} 120{5,5/2} 66 0 большой великий полидодекаэдр (gapD) {5,5/2,3} 120{5,5/2} 720{5} 1200{3} 120{5/2,3} 76 −480 большойполиикосаэдр (gpI) {3,5/2,5} 120{3,5/2} 1200{3} 720{5} 120{5/2,5} 76 480 великийполитетраэдр(apT) {3,3,5/2} 600{3,3} 1200{3} 720{5/2} 120{3,5/2} 191 0 Большой великий звёздчатый стодвадцатиячейник большой великий звёздчаты полидодекаэдр (gaspD) {5/2,3,3} 120{5/2,3} 720{5/2} 1200{3} 600{3,3} 191 0
См. также Правильные многомерные многогранники Список правильных многогранников и соединений Бесконечные правильные 4-мерные многогранники: Правильные евклидовы соты: {4,3,4} Четыре компактных правильных гиперболических сот: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5} Одиннадцать паракомпактных правильных гиперболических сот: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5}, and {6,3,6}. Абстрактные правильные 4-мерные многогранники: Одиннадцатиячейник {3,5,3} {5,3,5} Семейства , построенные на основе этих 6 правильных форм. Платоновы тела Тело Кеплера — Пуансо – правильные звёздчатые многогранники Звёздчатый многоугольник – правильные звёздчатые многоугольники
Примечания
Литература
Dover Publications, 1958
(Paper 10) H.S.M. Coxeter, Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
Ссылки
Jonathan Bowers, 16 regular 4-polytopes Regular 4D Polytope Foldouts Catalog of Polytope Images A collection of stereographic projections of 4-polytopes. A Catalog of Uniform Polytopes Dimensions 2 hour film about the fourth dimension (contains stereographic projections of all regular 4-polytopes) Hecatonicosachoron на Glossary for Hyperspace Hexacosichoron на Glossary for Hyperspace Stellation на Glossary for Hyperspace Greatening на Glossary for Hyperspace Aggrandizement на Glossary for Hyperspace Reguläre Polytope The Regular Star Polychora
Категория:Четырёхмерная геометрия Категория:Многогранники