AK-моде́ль (модель Ребело, ) — эндогенная модель экономического ростa, в которой устойчивый экономический рост достигается за счет неубывающей предельной производительности капитала, понимаемого в модели как совокупность физического и человеческого капитала, в производстве инвестиционных товаров. AK-модель преодолела недостаток экзогенности темпов научно-технического прогресса, присущий неоклассическим моделям, и показала возможность негативного воздействия фискальной политики на долгосрочные темпы экономического роста. Однако сильная чувствительность темпов экономического роста к изменениям налоговой ставки, предполагаемая по модели, не подтверждается эмпирически. Также в модели не раскрывается целенаправленная деятельность экономических агентов по инвестированию в новые технологии с целью извлечения прибыли. Разработана в 1990 году .
История создания В ранних неоклассических моделях экономического роста (модели Солоу и Рамсея — Касса — Купманса) темпы научно-технический прогресса, являющего источником экономического роста, задавались экзогенно, а капитал как фактор производства характеризовался убывающей отдачей от масштаба. Чтобы объяснить темпы экономического роста, исследователи стали использовать более широкую трактовку понятия «капитал», включая в него и человеческий капитал. Эта концепция была впервые предложена Фрэнком Найтом в 1944 году. На основании такой широкой трактовки капитала традиционно используемую в макроэкономических моделях функцию Кобба — Дугласа сменила производственная функция вида , которая впервые была предложена в 1937 году Джоном фон Нейманом (на английский язык работа была переведена в 1945 году). Простейший вариант AK-модели (с экзогенной ставкой сбережения) был предложен Робертом Солоу в 1970 году, однако сам Солоу посчитал её неинтересной. Для объяснения нормы сбережений как следствия решений экономических агентов, как и в модели Рамсея — Касса — Купманса, используется межвременная функция полезности из работы Фрэнка Рамсея 1928 года. После Роберта Солоу многие исследователи предлагали свои версии АК-модели, иногда под этим названием подразумеваются некоторые схожие модели (см. ниже), но в качестве модели, объединяющей человеческий и физический капитал в производственную функцию вида , с помощью которой объясняются темпы экономического роста, в обзорных источниках используется модель, предложенная в работе «Анализ зависимости долгосрочной фискальной политики и темпов экономического роста», опубликованной в апреле 1990 года и изданной в июне 1991 года в журнале .
Описание оригинальной модели
Базовые предпосылки модели В модели рассматривается закрытая экономика. Фирмы максимизируют свою прибыль, а потребители — полезность. Экономика функционирует в условиях совершенной конкуренции. Производится два разных типа продуктов: один используется, для потребления , другой - для инвестиций . Норма выбытия капитала задается экзогенно. В качестве работника и потребителя в модели выступает бесконечно живущий индивид (или домохозяйство). Предполагается, что между разными поколениями существуют альтруистические связи, при принятии решений домохозяйство учитывает ресурсы и потребности не только настоящих, но и будущих своих членов, что делает его решения аналогичным решениям бесконечно живущего индивида. Время изменяется непрерывно.
Предпосылка о закрытой экономике означает, что произведенный продукт тратится на инвестиции и потребление, экспорт/импорт отсутствуют, сбережения равны инвестициям: .
Капитал , трактуемый в модели как совокупность физического и человеческого капитала, распределяется между двумя секторами, производящими инвестиционные и потребительские товары:
, где — совокупный запас капитала в момент времени , — капитал, используемый в производстве потребительских товаров в момент времени , — капитал, используемый в производстве инвестиционных товаров в момент времени . Если обозначить долю капитала, задействованного в производстве потребительских товаров в момент времени как , , то и .
Производственная функция в секторе потребительских товаров описывается функцией Кобба — Дугласа:
, где — совокупное потребление в момент времени , — потребление отдельного индивида в момент времени , — трудовые ресурсы в момент времени , — технологический параметр, .
Производственная функция в секторе инвестиционных товаров не включает в себя труд как фактор производства, зависит только от капитала и описывается функцией:
, где — технологический параметр, .
Население , равное в модели совокупным трудовым ресурсам, растет с постоянным темпом : .
Индивид предлагает одну единицу труда (предложение труда неэластично) и получает заработную плату (в единицах потребительского товара). Функция полезности бесконечно живущего индивида-потребителя является сепарабельной, то есть потребление прошлых и будущих периодов не влияют на текущую полезность, влияет только потребление текущего периода. Она удовлетворяет условиям и условиям Инады (при потреблении, стремящемся к нулю, предельная полезность стремится к бесконечности, при потреблении, стремящемся к бесконечности, предельная полезность стремится к нулю): , а также обладает постоянной эластичностью замещения , и имеет вид:
, где — коэффициент межвременного предпочтения потребителя, .
Доходы индивида состоят из заработной платы и поступлений от активов . Активы индивида могут быть как положительными, так и отрицательными (долг). Процентная ставка по вложениям и по долгу в модели принята одинаковой. В связи с этим в модели присутствует условие отсутствия схемы Понци (финансовой пирамиды): нельзя бесконечно выплачивать старые долги за счет новых:
, где — в закрытой экономике весь капитал принадлежит резидентам, а величина активов индивида совпадает с запасом капитала на одного работающего. Накопление капитала в момент времени равно разности произведенных инвестиционных товаров и выбытия капитала: , где — норма выбытия капитала, — производная капитала по времени.
Для поиска решения модели используются удельные показатели: выпуск на единицу труда , запас капитала на единицу труда , потребление на единицу труда , инвестиции на единицу труда .
В интенсивной форме производственные функции имеют вид: (сектор инвестиционных товаров) и (сектор потребительских товаров).
Задача фирмы Задача фирм, работающие в двух секторах, состоит в максимизации прибыли ( и в потребительском и инвестиционном секторе соответственно):
В условиях совершенной конкуренции это означает, что предельная производительность капитала в производстве инвестиционных и потребительских товаров должна быть одинакова (), при условии статичности цен:
,
,
где — цена инвестиционного товара в момент времени , — цена потребительского товара в момент времени . Из условия, что , следует:
.
Задача потребителя Доходы индивида расходуются либо на потребление, либо на увеличение активов (сбережений). Население растет темпом , поэтому активы на одного человека сокращаются с этим же темпом, то есть скорость изменения активов в каждый момент времени уменьшаются на . Таким образом, учитывая, что в этой версии модели производная активов по времени , выступающая в качестве бюджетного ограничения индивида, имеет вид:
.
Как и в модели Рамсея — Касса — Купманса, задача потребителя заключается в максимизации полезности при бюджетном ограничении и при ограничении на отсутствие схемы Понци. Поскольку бюджетное ограничение представлено как производная по времени, то задача потребителя представлена в виде задачи динамической оптимизации. Её решение можно найти путём построения функция Гамильтона и нахождения её максимума с помощью принципа максимума Понтрягина.
Функция Гамильтона выглядит следующим образом:
при условии:
.
Условие максимума первого порядка: .
Фазовая координата (сопряжённое уравнение): , где — производная по времени.
Условие трансверсальности (при невыполнении которого найденное решение может оказаться не максимумом, а седловой точкой): , где представляют собой активов (теневые цены учитывают внешние эффекты в стоимости товаров, если фирмы и потребители принимают решения в соответствии со структурой цен, пропорциональной теневой, то в экономике достигается оптимальное по Парето состояние). В данном случае условие трансверсальности совпадает с ограничением на отсутствие схемы Понци.
Искомое решение имеет вид правила Кейнса — Рамсея:
, где — производная потребления на душу населения по времени, — темп роста потребления на единицу населения.
Общее равновесие в модели С учетом изменения цен потребительского и инвестиционного товаров, в равновесном состоянии доходности на капитал в производстве инвестиционных () и потребительских () товаров должны удовлетворять условию:
,
где — производная цены инвестиционного товара по времени, — производная цены потребительского товара по времени.
На траектории стабильного роста . Если выбрать потребительский товар в качестве меры стоимости, , то . Динамика цены инвестиционного товара определяется из равенства доходностей на капитал в секторах потребительских и инвестиционных товаров:
. С учетом уравнения доходности капитала в производственном секторе, итоговое уравнение для примет вид: . Если подставить значение в уравнение динамики потребления, то оно примет вид:
. Производная производственной функции в секторе потребительских товаров по времени выглядит следующим образом: .
Решением системы из этих двух уравнений и будут равновесные темпы роста капиталовооружённости (), выпуска на единицу труда (), заработной платы () и потребления на единицу труда ():
, ,
Таким образом, в модели темпы роста выпуска и потребления являются постоянными, и не падают с ростом запаса капитала. Поскольку в модели отсутствуют внешние эффекты, найденное конкурентное равновесие является оптимальным по Парето, и не существует централизованного равновесия с более высокими темпами роста, в отличие от моделей обучения в процессе деятельности и Удзавы — Лукаса.
Фискальная политика в модели Совокупные налоговые поступления можно записать следующим образом:
,
где — совокупные налоговые поступления в момент времени , — суммарная ставка налогов на потребление (например, НДФЛ, НДС), — суммарная ставка налогов на инвестиции (например, налог на прибыль).
Налоги на потребление не влияют на темпы роста капиталовооружённости и выпуска , они лишь приводят к уменьшению текущего уровня потребления. Но налоги на инвестиции оказывают влияние на темпы роста В этом случае оптимальные темпы роста капиталовооружённости и выпуска изменится следующим образом:
,
.
Таким образом, в отличие от модели Рамсея — Касса — Купманса, в которой рост налогов вызывал только снижение текущего потребления, но не влиял на темпы экономического роста, в рассматриваемой модели даже небольшие изменения в налоговой политике могут привести к снижению не только текущего уровня потребления, но и темпов экономического роста (при определенных значениях параметров, они даже могут стать отрицательными).
Упрощенная версия модели
Отличия от оригинальной модели Во многих работах встречается упрощенная версия модели, в которой рассматривается односекторная экономика вместо двухсекторной в оригинальной модели: производится только один товар , используемый как для потребления, так и для инвестиций. В этом случае в качестве совокупной производственной функции выступает производственная функция сектора инвестиционных товаров из оригинальной модели:
Поскольку производится только один товар, то больше нет необходимости в разных ценах и , и в этой версии, как и в модели модели Рамсея — Касса — Купманса, работники снова получают заработную плату в натуральной величине.
Задача фирмы
Задача фирмы состоит в максимизации прибыли :
Поскольку фирмы функционируют в условиях совершенной конкуренции, то предельные производительности факторов производства равны их ценам:
, .
Задача потребителя
Задача потребителя полностью аналогична задаче в оригинальной модели. Её решение имеет также вид правила Кейнса — Рамсея:
,
Общее экономическое равновесие