Систолическое неравенство — неравенство следующего вида
где есть замкнутое -мерное риманово многообразие в определённом классе, — длина кратчайшей нестягиваемой замкнутой кривой на (так называемая систола ) и — его объём.
Как определённый класс обычно берётся топологический тип многообразия, но иногда рассматриваются, например, класс римановых многообразий конформно эквивалентных данному.
Для многих топологических типов многообразий, например для произведения сферы и окружности систолическое неравенство не выполняется — существуют римановы метрики на с произвольно малым объёмом и произвольно длинной систолой.
Примеры
— оптимальное систолическое неравенство для двумерного тора с константой . Неравенство Пу — оптимальное систолическое неравенство для вещественной проективной плоскости с константой . Оптимальная константа известна также для бутылки Кляйна; она равна .C. Bavard. “Inégalité isosystolique pour la bouteille de Klein”. Math. Ann. 274.3 (1986), 439–441. Систолическое неравенство выполняется для метрик конформно эквивалентных канонической метрике на торе и проективного пространства всех размерностей. Более того равенство достигается для канонической метрики. Неравенство Громова для существенных многообразий
В частности систолическое неравенство выполняется для всех замкнутых поверхностей кроме сферы, а также торов и проективных пространстве всех размерностей. Известно, что оптимальная константа не превосходит .Alexander Nabutovsky, Linear bounds for constants in Gromov's systolic inequality and related results. Пример проективного пространства с канонической метрикой даёт нижнюю оценку на , которая растёт как ; возможно это и есть оптимальная константа.
Примечания
Категория:Систолическая геометрия Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия