Кривая Бринга (также называемая поверхностью Бринга) — кривая, задаваемая выражением
Название кривой дал Кляйн по имени Эрланда Самуэля Бринга, который изучал похожую конструкцию в 1786 году в тезисах диссертации, представленной в Лундском университете.
Автоморфизмами кривой служит симметрическая группа S5 порядка 120, задаваемая перестановками 5 координат. Это максимально возможная группа автоморфизмов комплексной кривой 4-го рода.
Кривая может быть реализована как сферы, разветвлённое в 12 точках, и является римановой поверхностью, связанной с малым звёздчатым додекаэдром. Поверхность имеет 4 род. Полная группа симметрий (включая отражения) является прямым произведением , которое имеет порядок 240.
Фундаментальная область и систола Кривая Бринга может быть получена как поверхность Римана, путём отождествления сторон гиперболического двадцатиугольника (см. ), его рисунок приведён справа. Двадцатиугольник (площади , по формуле Гаусса — Бонне) может быть выложен с помощью 240 (2,4,5) треугольников. Действия, которые переносят один из этих треугольников в другой, дают полную группу автоморфизмов поверхности (включая отражения). Если игнорировать отражения, получим 120 автоморфизмов, упомянутых выше. Заметим, что 120 меньше 252, максимального числа сохраняющих ориентацию автоморфизмов, возможных для поверхности рода 4 согласно теореме Гурвица об автоморфизмах. Поэтому поверхность Бринга не является поверхностью Гурвица. Это также говорит о том, что не существует поверхности Гурвица рода 4.
Полная группа симметрий имеет следующее представление:
,
где есть тождественное действие, является вращением порядка 5 вокруг центра фундаментального многоугольника, является вращение порядка 2 в вершине, где 4 (2,4,5) треугольника встречаются в мозаике, а является отражение относительно вещественной оси. Исходя из этого представления, информация о линейном представлении группы симметрии поверхности Бринга может быть вычислена с помощью GAP. В частности, группа имеет четыре одномерных, четыре четырёхмерных, четыре пятимерных и два шестимерных неприводимых представления, и мы имеем
как и ожидалось.
поверхности имеет длину
Аналогично квартике Клейна, поверхность Бринга не максимизирует длину систолы среди компактных римановых поверхностей в своей топологической категории (то есть среди поверхностей, имеющих тот же род), несмотря на максимизацию размера группы автоморфизмов. Систола (по-видимому) максимизируется поверхностью, обозначенной как M4 в статье Шмутца. Длина систолы M4 равна
и имеет кратность 36.
Спектральная теория Мало что известно о спектре поверхности Бринга, однако это направление исследований представляет интерес. Поверхность Больцы и квартика Кляйна имеют наибольшие группы симметрии среди компактных римановых поверхностей отрицательной кривизны рода 2 и 3 соответственно, а тогда была высказана гипотеза, что они максимизируют первое положительное собственное значение в спектре лапласиана. Имеется сильное числовое свидетельство в поддержку этой гипотезы, в частности, в случае поверхности Больцы, хотя строгое доказательство остаётся открытой проблемой. Согласно этому можно обоснованно высказать гипотезу, что поверхность Бринга максимизирует первое положительное собственное значение оператора Лапласа (среди поверхностей в топологическом классе).
См. также Поверхность Больцы Квартика Клейна Поверхность Макбита
Примечания
Литература
Категория:Алгебраические кривые