M-матрица в математике — это Z-матрица с собственными значениями, действительные части которой неотрицательны. Множество неособых M-матриц является подмножеством класса P-матриц, а также класса обратноположительных матриц (то есть матриц, обратные к которым принадлежат классу положительных матриц).. Название M-матрица, по-видимому, первоначально было выбрано Александром Островским в связи с Германом Минковским, который доказал, что если у Z-матрицы все суммы строк положительны, то определитель этой матрицы положителен..
Характеристики M-матрица обычно определяется следующим образом:
Определение: Пусть — вещественная Z-матрица, то есть матрица такова, что для всех , . Тогда матрица также является M-матрицей, если она представима в виде , где , для всех , где s по меньшей мере так же велико, как максимум модулей собственных значений , а — единичная матрица.
Для матрицы , согласно теореме Перрона-Фробениуса, должно выполняться условие . Кроме того, для неособой M-матрицы диагональные элементы матрицы должны быть положительными. Далее характеризуется только класс неособых M-матриц.
Известно много утверждений, эквивалентных этому определению неособых M-матриц, и любое из этих утверждений может служить отправным определением неособой M-матрицы.. Например, Племмонс перечисляет 40 таких эквивалентностей.. классифицировал эти характеристики с точки зрения их отношения к свойствам: (1) положительности главных миноров, (2) обратной положительности и расщеплений, (3) устойчивости и (4) полуположительности и диагонального доминирования. Имеет смысл классифицировать свойства таким образом, потому что операторы внутри определённой группы связаны друг с другом, даже если матрица является произвольной матрицей и не обязательно Z-матрицей.
Примечания
Категория:Линейная алгебра Категория:Матрицы