Спектральная геометрия — направление в дифференциальной геометрии, изучающее взаимосвязи между геометрическими структурами областей и многообразий со спектрами канонически определённых дифференциальных операторов. Наиболее широко изучен случай оператора Лапласа — Бельтрами на замкнутом римановом многообразии, также исследовались другие операторы Лапласа. В математической предметной классификации направление отнесено к глобальному анализу в элементе с кодом 58J50 (наряду со спектральными задачами в целом и теорией рассеяния).
Задачи направления можно разделить на два типа: прямые и обратные. Обратные задачи направлены на выявление геометрических особенностей на основе информации о собственных значениях оператора Лапласа. Один из первых результатов такого рода принадлежит Герману Вейлю, установившему в 1911 году средствами теории интегральных уравнений Гильберта, что объём ограниченной области в евклидовом пространстве может быть определён из асимптотического поведения собственных значений краевой задачи Дирихле для оператора Лапласа; эту задачу характеризует классический вопрос «можно ли услышать форму барабана?». Уточнение асимптотической формулы Вейля, полученное и , приводит к ряду локальных спектральных инвариантов, включающих ковариантные производные тензора кривизны, которые могут быть использованы для установления спектральной жёсткости для специального класса многообразий. Однако, как показывает пример Милнора, информации о собственных значениях недостаточно для определения класса изометрии многообразия (изоспектральное многообразие). Общий и систематический метод породил множество подобных примеров, которые проясняют явление изоспектральных многообразий.
Прямые задачи заключаются в определении поведения собственных значений риманова многообразия из знания его геометрии. Решения прямых задач классифицируются неравенством Чигера, которое устанавливает связь между первым положительным собственным значением и изопериметрической константой — константой Чигера. После публикации работы были получены и другие версии этого неравенства, в частности, и Петером Бузером.
Литература
Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия Категория:Спектральная теория Категория:Дифференциальная геометрия и топология