Конус в топологии — топологическое пространство, получающееся из исходного пространства стягиванием подпространства его цилиндра () в одну точку, то есть, факторпространство . Конус над пространством обозначается .
Если — компактное подмножество евклидова пространства, то конус над гомеоморфен объединению отрезков из в выделенную точку пространства, то есть, определение топологического конуса согласуется с определением конуса геометрического. Однако топологический конус является более общей конструкцией.
Примеры Конус над точкой вещественной прямой — это интервал , конус над интервалом вещественной прямой — заполненный треугольник (2-симплекс), конус над многоугольником — это пирамида с основанием . Конус над кругом — это классический конус (с внутренностью); конус над окружностью — боковая поверхность классического конуса: , гомеоморфная кругу.
В общем случае конус над гиперсферой гомеоморфен замкнутому -мерному шару. Конус над -симплексом — -симплекс.
Свойства Конус может быть сконструирован как цилиндр постоянного отображения .
Все конусы являются линейно связными, поскольку любую точку можно соединить с вершиной. Более того, любой конус является стягиваемым к вершине с помощью гомотопии, задаваемой формулой .
Если является компактным и хаусдорфовым, то конус можно представить как пространство отрезков, соединяющих каждую точку с единственной точкой; если не является компактным или хаусдорфовым, то это не так, поскольку в общем случае топология на факторпространстве будет тоньше, чем множество отрезков, соединяющих с точкой.
В алгебраической топологии конусы широко применяются благодаря тому, что представляют пространства как вложения в стягиваемое пространство; в этой связи также важен следующий результат: пространство стягиваемо тогда и только тогда, когда оно является ретрактом своего конуса.
Конический функтор Отображение порождает конический функтор — эндофунктор над категорией топологических пространств .
Приведённый конус Приведённый конус — конструкция над : .
Естественное вложение позволяет рассмотреть всякое пунктированное пространство как замкнутое подмножество своего приведённого конуса.
См. также Надстройка (топология)
Джойн (топология)
Примечания
Литература
Категория:Алгебраическая топология