мини|Пример Аполонијеве мреже У математици, Аполонијева мрежа, Аполонијева заптивка или Аполонијево паковање кругова јесте фрактал који се генерише почевши од три круга, од којих је сваки тангентан на друга два, а затим се сукцесивно попуњава са још кругова, од којих је сваки тангентан на нека друга три. Име је добила по старогрчком математичару Аполонију из Перге.Satija, I. I., The Butterfly in the Iglesias Waseas World: The story of the most fascinating quantum fractal (Бристол: IOP Publishing, 2016), стр. 5.
Конструкција мини|Међусобно тангентни кругови. Ако су дата три међусобно тангентна круга (), постоје генерално два друга круга који су међусобно тангентни на њих (). Конструкција Аполонијеве мреже почиње са три круга , и (црни на слици), који су међусобно тангентни један на други, али немају ниједну тачку троструке тангенте. Ови кругови могу бити различитих величина, и дозвољено је да два буду унутар трећег, или да сва три буду један изван другог. Као што је Аполоније открио, постоје још два круга и (црвени) који су тангентни на сва три почетна круга — они се називају Аполонијевим круговима. Ових пет кругова су одвојени један од другог помоћу шест закривљених троугаоних региона, од којих је сваки омеђен луковима три међусобно тангентна круга. Конструкција се наставља додавањем још шест кругова, по један у сваки од ових шест закривљених троуглова, тангентно на његове три странице. Они заузврат стварају још 18 закривљених троуглова, а конструкција се наставља поновним попуњавањем ових троуглова тангентним круговима, у бесконачност (лат. ).
Настављајући се етапу по етапу на овај начин, конструкција додаје нових кругова у етапи , дајући укупно кругова након фаза. У граничном случају, овај скуп кругова чини Аполонијеву мрежу. У њој, сваки пар тангентних кругова има бесконачан Папосов ланац кругова који су тангентни на оба круга у пару.
мини|У граничном случају (0,0,1,1), два највећа круга се замењују паралелним правим линијама. Ово производи породицу Фордових кругова. Величина сваког новог круга одређена је Декартовом теоремом, која наводи да, за било која четири међусобно тангентна круга, полупречници кругова задовољавају једначину
Ова једначина може имати решење са негативним полупречником; то значи да један од кругова (онај са негативним полупречником) окружује остала три. Један или два почетна круга ове конструкције, или кругови који су резултат ове конструкције, могу дегенерисати у праву линију, која се може посматрати као круг бесконачног полупречника. Када постоје две праве линије, оне морају бити паралелне и сматра се да су тангентне у тачки у бесконачности. Када мрежа укључује две праве на -оси и једну јединичну изнад ње, као и круг јединичног пречника тангентан на обе линије са центром на -оси, тада кругови који су тангентни на -осу представљају Фордове кругове, значајне у теорији бројева.
Аполонијева мрежа има Хаусдорфову димензију од око 1,3056867, која је проширена на најмање 128 децималних места. Пошто има добро дефинисану фракциону димензију, иако није прецизно самослична, може се сматрати фракталом.
Симетрије Мебијусове трансформације равни чувају облике и тангентности кругова, и стога чувају структуру Аполонијеве мреже. Било које две тројке међусобно тангентних кругова у Аполонијевој мрежи могу се пресликати једна у другу помоћу Мебијусове трансформације, а било које две Аполонијеве мреже могу се пресликати једна у другу Мебијусовом трансформацијом. Конкретно, за било која два тангентна круга у било којој Аполонијевој мрежи, инверзија круга центрирана у тачки тангенте (посебан случај Мебијусове трансформације) трансформисаће ова два круга у две паралелне праве и трансформисаће остатак мреже у посебан облик мреже између две паралелне линије. Композиције ових инверзија могу се користити за међусобно трансформисање било које две тачке тангенте. Мебијусове трансформације су такође изометрије хиперболичке равни, тако да су у хиперболичкој геометрији све Аполонијеве мреже подударне. У том смислу, постоји само једна Аполонијева мрежа, до на (хиперболичку) изометрију.
Аполонијева мрежа је гранични скуп групе Мебијусових трансформација познате као Клајнова група.Counting circles and Ergodic theory of Kleinian groups, Хи О, Универзитет Браун, 12. 2009
За еуклидске трансформације симетрије, уместо Мебијусових трансформација, Аполонијева мрежа ће генерално наследити симетрије свог генеришућег скупа од три круга. Међутим, неке тројке кругова могу генерисати Аполонијеве мреже са вишом симетријом од почетне тројке; ово се дешава када иста мрежа има другачији и симетричнији скуп генеришућих кругова. Посебно симетрични случајеви укључују Аполонијеву мрежу између две паралелне линије (са бесконачном диједарском симетријом), Аполонијеву мрежу генерисану са три подударна круга у једнакостраничном троуглу (са симетријом троугла) и Аполонијеву мрежу генерисану помоћу два круга полупречника 1 окружена кругом полупречника 2 (са две линије рефлективне симетрије).
Целобројна Аполонијева паковања кругова
Ако било која четири међусобно тангентна круга у Аполонијевој мрежи имају целобројну закривљеност (реципрочна вредност њиховог полупречника), тада ће сви кругови у мрежи имати целобројну закривљеност. Пошто је једначина која повезује закривљености у Аполонијевој мрежи, било целобројној или не:
следи да се може прећи са једне четворке закривљености на другу Вијетовим скоком, баш као код проналажења новог Марковљевог броја. Првих неколико оваквих целобројних Аполонијевих мрежа наведено је у следећој табели. Табела приказује закривљености највећих кругова у мрежи. Само прве три закривљености (од пет приказаних у табели) су потребне за потпуни опис сваке мреже — све остале закривљености се могу извести из ове три.
+ Целобројне Аполонијеве мреже Почетне закривљености Симетрија −1, 2, 2, 3, 3 D2 −2, 3, 6, 7, 7 D1 −3, 4, 12, 13, 13 D1 −3, 5, 8, 8, 12 D1 −4, 5, 20, 21, 21 D1 −4, 8, 9, 9, 17 D1 −5, 6, 30, 31, 31 D1 −5, 7, 18, 18, 22 D1 −6, 7, 42, 43, 43 D1 −6, 10, 15, 19, 19 D1 −6, 11, 14, 15, 23 C1 −7, 8, 56, 57, 57 D1 −7, 9, 32, 32, 36 D1 −7, 12, 17, 20, 24 C1 −8, 9, 72, 73, 73 D1 −8, 12, 25, 25, 33 D1 −8, 13, 21, 24, 28 C1 −9, 10, 90, 91, 91 D1 −9, 11, 50, 50, 54 D1 −9, 14, 26, 27, 35 C1 −9, 18, 19, 22, 34 C1 −10, 11, 110, 111, 111 D1 −10, 14, 35, 39, 39 D1 −10, 18, 23, 27, 35 C1 −11, 12, 132, 133, 133 D1 −11, 13, 72, 72, 76 D1 −11, 16, 36, 37, 45 C1 −11, 21, 24, 28, 40 C1 −12, 13, 156, 157, 157 D1 −12, 16, 49, 49, 57 D1 −12, 17, 41, 44, 48 C1 −12, 21, 28, 37, 37 D1 −12, 21, 29, 32, 44 C1 −12, 25, 25, 28, 48 D1 −13, 14, 182, 183, 183 D1 −13, 15, 98, 98, 102 D1 −13, 18, 47, 50, 54 C1 −13, 23, 30, 38, 42 C1 −14, 15, 210, 211, 211 D1 −14, 18, 63, 67, 67 D1 −14, 19, 54, 55, 63 C1 −14, 22, 39, 43, 51 C1 −14, 27, 31, 34, 54 C1 −15, 16, 240, 241, 241 D1 −15, 17, 128, 128, 132 D1 −15, 24, 40, 49, 49 D1 −15, 24, 41, 44, 56 C1 −15, 28, 33, 40, 52 C1 −15, 32, 32, 33, 65 D1
Пребројавање целобројних Аполонијевих паковања кругова Закривљености чине коренску четворку (најмању у неком целобројном паковању кругова) ако је . Оне су примитивне када је . Дефинисањем новог скупа променљивих путем матричне једначине:
добија се систем где задовољава Декартову једначину тачно када је . Штавише, је примитивна тачно када је , а је коренска четворка тачно када је .
Овај однос се може користити за проналажење свих примитивних коренских четворки са датом негативном кривином . Из и следи да је , и стога . Зато ће било која коренска четворка задовољити . Итерирањем кроз све могуће вредности , и могу се пронаћи све примитивне коренске четворке. Следећи код у Python-у демонстрира овај алгоритам, генеришући примитивне коренске четворке наведене изнад.
import math
def get_primitive_bends(n: int) -> tuple[int, int, int, int]: if n == 0: yield 0, 0, 1, 1 return for m in range(math.ceil(n / math.sqrt(3))): s = m**2 + n**2 for d1 in range(max(2 * m, 1), math.floor(math.sqrt(s)) + 1): d2, remainder = divmod(s, d1) if remainder == 0 and math.gcd(n, d1, d2) == 1: yield -n, d1 + n, d2 + n, d1 + d2 + n - 2 * m
for n in range(15): for bends in get_primitive_bends(n): print(bends)
Локално-глобална хипотеза
Закривљености које се појављују у примитивном целобројном Аполонијевом паковању кругова морају припадати скупу од шест или осам могућих класа остатака по модулу 24, а теоретски резултати и нумерички докази су подржавали тезу да би било који довољно велики цео број из ових класа остатака такође био присутан као закривљеност унутар паковања. Ова претпоставка, позната као локално-глобална хипотеза, доказана је као нетачна 2023. године.
Симетрија целобројних Аполонијевих паковања кругова Постоји више типова диједарске симетрије који се могу јавити код мреже у зависности од закривљености кругова.
Без симетрије Ако се ниједна од закривљености не понавља у првих пет, мрежа не садржи никакву симетрију, што је представљено групом симетрије C1; мрежа описана закривљеностима (−10, 18, 23, 27) је један пример.
D1 симетрија Кад год два од пет највећих кругова у мрежи имају исту закривљеност, та мрежа ће имати D1 симетрију, што одговара рефлексији дуж пречника граничног круга, без ротационе симетрије.
D2 симетрија Ако се две различите закривљености понављају унутар првих пет, мрежа ће имати D2 симетрију; таква симетрија се састоји од две рефлексије (међусобно нормалне) дуж пречника граничног круга, са двоструком ротационом симетријом од 180°. Мрежа описана закривљеностима (−1, 2, 2, 3) је једина Аполонијева мрежа (до на фактор скалирања) која поседује D2 симетрију.
D3 симетрија Не постоје целобројне мреже са D3 симетријом.
Ако три круга са најмањом позитивном закривљеношћу имају исту закривљеност, мрежа ће имати D3 симетрију, што одговара трима рефлексијама дуж пречника граничног круга (размакнутих за 120°), заједно са троструком ротационом симетријом од 120°. У овом случају однос закривљености граничног круга према три унутрашња круга износи 2 − 3. Пошто овај однос није рационалан број, ниједно целобројно Аполонијево паковање кругова не поседује ову D3 симетрију, иако су многа паковања близу тога.
Скоро-D3 симетрија мини|лево|(−15, 32, 32, 33) мини|десно|(−15, 32, 32, 33) Слика лево приказује целобројну Аполонијеву мрежу која изгледа као да има D3 симетрију. Иста слика је приказана десно, са ознакама које указују на закривљеност унутрашњих кругова, илуструјући да мрежа заправо поседује само D1 симетрију уобичајену за многе друге целобројне Аполонијеве мреже.
Следећа табела наводи више оваквих скоро-D3 целобројних Аполонијевих мрежа. Низ има неке занимљиве особине, а табела наводи факторизацију закривљености, заједно са множиоцем потребним да би се прешло са претходног скупа на тренутни. Апсолутне вредности закривљености дискова „a” поштују рекурентну релацију , из чега следи да множилац конвергира ка + 2 ≈ 3,732050807.
+ Целобројне Аполонијеве мреже са скоро-D3 симетријом Закривљеност Фактори Множилац a b c d a b d a b c d −1 2 2 3 1×1 1×2 1×3 −4 8 9 9 2×2 2×4 3×3 4,000000000 4,000000000 4,500000000 3,000000000 −15 32 32 33 3×5 4×8 3×11 3,750000000 4,000000000 3,555555556 3,666666667 −56 120 121 121 8×7 8×15 11×11 3,733333333 3,750000000 3,781250000 3,666666667 −209 450 450 451 11×19 15×30 11×41 3,732142857 3,750000000 3,719008264 3,727272727 −780 1680 1681 1681 30×26 30×56 41×41 3,732057416 3,733333333 3,735555556 3,727272727 −2911 6272 6272 6273 41×71 56×112 41×153 3,732051282 3,733333333 3,731112433 3,731707317 −10864 23408 23409 23409 112×97 112×209 153×153 3,732050842 3,732142857 3,732302296 3,731707317 −40545 87362 87362 87363 153×265 209×418 153×571 3,732050810 3,732142857 3,731983425 3,732026144
Секвенцијалне закривљености мини|Угнежђене Аполонијеве мреже За било који цео број , постоји Аполонијева мрежа дефинисана следећим закривљеностима: