Індекс Коші — в математичному аналізі це ціле число асоційоване з раціональною функцією на проміжку з її області визначення.
Використовується зокрема в теоремі Рауса — Гурвіца, яка знаходить кількість коренів в лівій і правій половинах комплексної площини.
Означення Індекс Коші початково був означений Коші в 1837 для полюса s раціональної функції r використовуючи односторонні границі як:
Узагальнення для відрізку [a,b] досить просте (якщо ні a ні b не є полюсами r(x)): це сума індексів Коші для r для кожного полюса s на відрізку. Позначається . Можна узагальнити для проміжків виду оскільки кількість полюсів r є скінченною (обчислюючи границю індексу Коші для [a,b] при прямуванні a та b до нескінченності).
Приклад
Розглянемо раціональну функцію:
Де p(x) та q(x) відповідно поліноми Чебишова степенів 3 та 5. Тоді, r(x) має полюси та , тобто для .
З графіку функції бачимо, що та . Для полюсу в нулі, маємо оскільки ліва і права границі рівні (оскільки p(x) теж має нульовий корінь). Отже оскільки q(x) має лише 5 коренів, і усі в [−1,1].
Ми не можемо використати тут теорему Рауса-Гурвіца, оскільки комплексний многочлен f(iy) = q(y) + ip(y) має корені на уявній осі (в початку координат).
Джерела