Чірплет-перетворення () — клас методів частотно-часового аналізу сигналів, у яких сигнал зіставляють із сімейством локалізованих частотно-модульованих функцій — чірплетів. Коефіцієнти перетворення визначають як скалярний добуток досліджуваного сигналу з чірплетами, параметри яких можуть задавати їхнє положення в часі та за частотою, тривалість і швидкість зміни миттєвої частоти.
Чірплет можна розглядати як коротку ділянку сигналу зі змінною частотою, обмежену в часі віконною функцією. На відміну від атомів віконного перетворення Фур'є, що описують локально сталу частоту, лінійні чірплети додатково враховують швидкість її зміни. Завдяки цьому чірплет-перетворення дає змогу компактно представляти нестаціонарні сигнали з частотою, що змінюється в часі, зокрема сигнали лінійної частотної модуляції.
Концепцію чірплет-перетворення запропонували Стів Манн і Саймон Хейкін на початку 1990-х років як узагальнення низки частотно-часових методів, зокрема вейвлет-перетворення та віконного перетворення Фур'є. Чірплетні методи застосовують, зокрема, в радіолокації, аналізі біомедичних, сейсмічних і мовних сигналів.
Така модель є природною для задач, у яких частота сигналу систематично змінюється в часі, зокрема через доплерівський дрейф або еволюцію джерела; характерними прикладами є радіолокація, пошук вузькосмугових астрономічних сигналів і аналіз гравітаційних хвиль.
Математичне визначення
Лінійний гаусовий чірплет можна записати у вигляді
де:
— положення чірплета в часі; — його центральна частота в момент ; визначає тривалість гаусової огинаючої; — швидкість зміни частоти ().
Фаза такого чірплета дорівнює
тому його миттєва частота
Таким чином, параметр задає нахил локальної траєкторії сигналу на частотно-часовій площині. При чірплет переходить у гармонічний сигнал із гаусовою огинаючою, тобто в атом, що використовується у перетворенні Габора.
Коефіцієнти перетворення
Для сигналу коефіцієнт лінійного чірплет-перетворення визначають як його скалярний добуток із чірплетом:
де зірочка позначає комплексне спряження. Модуль характеризує відповідність локальної ділянки сигналу чірплету із заданими положенням, частотою, тривалістю та швидкістю зміни частоти. Якщо ці параметри відповідають компоненті сигналу, модуль коефіцієнта набуває великого значення.
На відміну від віконного перетворення Фур'є, результат залежить не лише від часу й частоти, а також від швидкості зміни частоти та масштабу:
Тому пряме обчислення перетворення на густій багатовимірній сітці потребує значно більше обчислень, ніж побудова звичайної спектрограми. Адаптивні варіанти чірплет-перетворення зменшують ці витрати, виконуючи пошук лише тих параметрів або атомів, які добре узгоджуються із сигналом.
Чірплетний розклад
У багатьох практичних алгоритмах замість повного обчислення сигнал апроксимують сумою скінченної кількості чірплетних атомів:
де — комплексний коефіцієнт компоненти, а
— набір параметрів відповідного лінійного чірплета.
Оскільки чірплетний словник є надлишковим і його атоми загалом не утворюють ортогонального базису, визначення такого розкладу перетворюється на задачу пошуку або оптимізації. Наприклад, в адаптивному чірплет-перетворенні параметри атомів добирають відповідно до аналізованого сигналу, а в алгоритмах типу chirplet path pursuit чи matching pursuit шукають послідовність атомів або траєкторію в чірплетному словнику, що пояснює найбільшу частину енергії сигналу.
Зв'язок з іншими перетвореннями
Чірплет-перетворення було запропоноване як узагальнення низки методів частотно-часового аналізу. У формулюванні Манна та Гейкіна аналізувальні функції описуються кількома незалежними параметрами, що визначають їхнє положення в часі й за частотою, масштаб та деформацію в частотно-часовій площині. Завдяки цьому віконне перетворення Фур'є та вейвлет-перетворення можна розглядати як окремі зрізи багатовимірного простору чірплет-перетворення.
Віконне перетворення Фур'є та перетворення Габора
У віконному перетворенні Фур'є сигнал порівнюють із локалізованими гармонічними функціями
де — віконна функція. Частота всередині кожного такого атома є сталою. Для гаусового вікна відповідне представлення пов'язане з габорівськими атомами.
У лінійному чірплеті до фази додається квадратичний член:
де — швидкість зміни частоти. При такий атом переходить у звичайний віконний гармонічний атом. Таким чином, чірплет-перетворення розширює локальний спектральний аналіз додатковою координатою, що характеризує нахил частотно-часової траєкторії сигналу.
Вейвлет-перетворення
У вейвлет-перетворенні аналізувальні функції утворюються перенесенням і масштабуванням базового вейвлета. Зі зміною масштабу одночасно змінюються його тривалість і характерна частота. У чірплетному представленні положення за частотою, масштаб і швидкість зміни частоти можуть варіюватися незалежніше.
У геометричному трактуванні Манна та Гейкіна вейвлети пов'язані між собою одновимірними афінними перетвореннями часу — перенесенням і масштабуванням, тоді як чірплети відповідають ширшому класу афінних перетворень у двовимірній частотно-часовій площині, зокрема зсувам, масштабуванню та зсувним деформаціям (). Тому площина «час — масштаб», на якій визначається звичайне вейвлет-перетворення, є одним із двовимірних підпросторів чірплетного простору.
Дробове перетворення Фур'є
Для лінійно частотно-модульованих сигналів чірплет-перетворення також тісно пов'язане з дробовим перетворенням Фур'є (FrFT). Дробове перетворення Фур'є можна геометрично трактувати як обертання частотно-часової площини на кут, що визначається порядком перетворення. Вибір відповідного кута дозволяє перетворити лінійний чірп на локалізовану спектральну компоненту. За відповідного зв'язку між кутом FrFT та швидкістю зміни частоти лінійне чірплет-перетворення можна розглядати як локалізоване, або віконне, дробове перетворення Фур'є.
Загальніше частотно-часове представлення
У початковій розширеній формі чірплет-перетворення Манна та Гейкіна сигнал відображається у багатовимірний простір параметрів. Автори показали, що вибором певних двовимірних підмноговидів цього простору та відповідного згладжувального ядра можна отримати не лише віконне перетворення Фур'є та вейвлет-перетворення, а й спектрограму, розподіл Вігнера — Вілля, функцію невизначеності та її широкосмуговий варіант.
На практиці повний багатовимірний простір зазвичай не обчислюють через його високу розмірність. Конкретні алгоритми чірплет-перетворення використовують лише потрібну підмножину параметрів або адаптивно добирають чірплети, що найкраще відповідають аналізованому сигналу.
Застосування Чірплет-перетворення та його адаптивні модифікації застосовують переважно для аналізу нестаціонарних сигналів, у яких характерні частоти змінюються з часом. Додатковий параметр швидкості зміни частоти дає змогу узгоджувати аналізувальні функції з локальною частотною модуляцією сигналу і завдяки цьому отримувати компактніше або краще локалізоване частотно-часове представлення, ніж за допомогою віконного перетворення Фур'є.
Радіолокація та радіоелектронна розвідка
Одним із перших практичних застосувань чірплет-перетворення було виявлення малих плавучих об'єктів морським радаром за зміною доплерівської частоти їхнього відбитого сигналу. У сучасніших методах адаптивні варіанти перетворення застосовують для аналізу невідомих частотно-модульованих радіолокаційних імпульсів, оцінювання їхньої миттєвої частоти та швидкості її зміни, виділення сигнатур передавачів і подальшої класифікації джерел випромінювання. Такі алгоритми розглядають, зокрема, для моніторингу радіочастотного спектра, радіоелектронної боротьби, радіоелектронної розвідки та пасивної радіолокації.
Радіозв'язок
У системах зв'язку чірплетне розкладання застосовували для придушення частотно-модульованих завад у каналах із розширенням спектра. Оскільки така завада добре апроксимується невеликою кількістю чірплетів, її можна виділити за найбільш енергетичними компонентами розкладання, вилучити з прийнятого сигналу, а очищений сигнал передати стандартному детектору. Для chirp-подібних завад такий підхід показав кращі результати, ніж вилучення компонентів на основі перетворення Фур'є.
Біомедичні сигнали
Адаптивне чірплет-перетворення застосовували для аналізу зорових викликаних потенціалів. У цьому випадку сигнал розкладають на невелику кількість гаусових чірплетів із незалежними параметрами положення в часі, центральної частоти, тривалості та швидкості зміни частоти. Це дає змогу окремо характеризувати перехідну та усталену частини відповіді й отримувати компактніше представлення сигналу, ніж при використанні габорівських фільтрів.
Неруйнівний контроль і моніторинг конструкцій
В ультразвуковому неруйнівному контролі чірплет-перетворення використовують для аналізу дисперсійних хвиль, зокрема хвиль Лемба. Через дисперсію різні частотні складові таких хвиль поширюються з різними швидкостями, тому форма сигналу природно відповідає частотно-модульованим аналізувальним функціям. Чірплети можна узгодити з теоретичною дисперсійною кривою певної моди та використовувати для її відокремлення, визначення енергії й загасання. Чірплетні методи також використовують для розділення окремих компонентів ультразвукового сигналу перед формуванням зображення дефектів.
Сейсмічна розвідка
У сейсмічній обробці чірплет-перетворення застосовують для виділення дисперсійної енергії поверхневих хвиль. В одному з методів кожну сейсмічну трасу спочатку перетворюють із часової області до частотно-часової за допомогою чірплет-перетворення, після чого отримані дані використовують для побудови дисперсійного зображення. Узгодження аналізувальних функцій зі швидкістю зміни частоти дозволяє краще концентрувати енергію дисперсійних хвиль, підвищуючи частотно-швидкісне розділення та відношення сигнал/шум. Метод перевіряли як на модельних, так і на польових сейсмічних даних.
Діагностика машин
Чірплетні перетворення широко досліджують для діагностики обертових машин, що працюють зі змінною швидкістю. Частоти компонентів вібраційного сигналу в таких умовах змінюються разом зі швидкістю обертання, тому звичайне спектральне представлення розмиває характерні ознаки несправностей. Модифіковані чірплетні перетворення узгоджують аналізовані функції з цими частотно-часовими траєкторіями та використовують їх для виділення миттєвих частот і ознак дефектів підшипників, роторів та редукторів.
Обробка зображень
Чірплетне представлення також застосовували до обробки зображень, зокрема до структур, просторова періодичність яких змінюється внаслідок перспективної проєкції. Така проєкція перетворює сталу просторову частоту повторюваного візерунка на частоту, що змінюється вздовж координати, тобто просторовий аналог ЛЧМ. Афінні перетворення чірплетних базисних функцій дозволяють компактно представляти такі структури.
Див. також Вейвлет-перетворення Віконне перетворення Фур'є Перетворення Фур'є Обробка сигналів Лінійна частотна модуляція Шерлет Лінійне канонічне перетворення
Література
Примітки